Подмногообразия в пространстве периодов комплексного тора
Рассмотрим ориентированное векторное пространство V размерности 2n над \R. Пространство сохраняющих ориентацию эндоморфизмов V, равных в квадрате -Id, есть комплексное многообразие CS(V), диффеоморфное GL^+(2n,\R) / GL(n,\C). В частности, оно имеет комплексную размерность n^2. Всякая симметрическая билинейная форма g \in \Sym^2(V^*) на V определяет в CS(V) комплексное подмногообразие T_g, состоящее из эндоморфизмов, являющихся ортогональными отностительно g преобразованиями V. Для невырожденной формы g оно диффеоморфно SO(2n) / U(n) и имеет размерность n(n-1)/2. Аналогично, для всякой кососимметрической формы \eta \in \Lambda^2(V^*) в CS(V) имеется комплексное многообразие Z_\eta, состоящее из операторов I таких, что имеет место тождество \eta(Ix,Iy) = \eta(x,y) и для всякого ненулевого вектора x \in V выполнено неравенство \eta(x,Ix) > 0. Многообразие Z_\eta для невырожденной формы \eta диффеоморфно Sp(2n) / U(n) и имеет размерность n(n+1)/2. Многообразия T_g компактны, а Z_\eta штейновы (и имеют специальное название -- верхние полупространства Зигеля). Известное упражнение по линейной алгебре состоит в том, что T_g и Z_\eta пересекаются по единице.

Хорошо известно, что ориентированное евклидово пространство вещественной размерности два имеет каноническую комплексную структуру, или что SO(2) \simeq U(1), или что T_g(V) = \pt в случае \dim V = 2. Можно задаться обратным вопросом -- именно, когда линейная комплексная структура на векторном пространстве определяется не симметрическими, а кососимметрическими формами. Если предполагать, что для k различных индексов подмногообразия Z_{\eta_i} пересекаются трансверсально, то размерность их пересечения равна n^2(1-k/2) + kn/2. Если k = 2, то размерность пересечения равна n, если k = 3, то (3n-n^2)/2 (имеет смысл только при n = 2 или 3), если k = 4, то 2n-n^2 (имеет смысл только при k = 2). Иными словами, логично предполагать, что общая тройка кососимметрических форм определяет комплексную структуру на шестимерном пространстве, а общая четвёрка -- на четырёхмерном (или, во всяком случае, дискретное множество таковых).

Тем не менее, оказывается, что пересекаются они нетрансверсально. Рассмотрим четырёхмерное вещественное векторное пространство V и четырёхмерное подпространство E \subset \Lambda^2(V^*), порождённое выбранными нами формами. Куда комплексная структура, совместная с четвёркой, переводит вектор u \in V? Образ отображения подстановки \iota_u \colon E \to V^* содержится в трёхмерном пространстве u^\perp \subset V^* форм, обнуляющихся вектором u. Значит, отображение \iota_u имеет ядро, и для какой-то ненулевой кососимметрической формы \eta \in E вектор u содержится в её ядре. Поскольку форма \eta ненулевая, её ядро имеет размерность ровно 2. Конечно, если комплексная структура совместна со всеми формами из E, то это ядро должно быть комплексной прямой, проходящей через вектор u.

Итак, четвёрка форм на четырёхмерном пространстве определяет для каждого вектора u плоскость \C u. Будем для простоты считать, что все наши формы определяют на этих плоскостях одинаковые ориентации. Можно ли однозначно восстановить, опершись на это знание, комплексную структуру? Нет! Тем не менее, если мы хотим от комплексной структуры, чтобы она переводила данный вектор u в данный вектор Iu \in \C u, то мы восстановим всю остальную комплексную структуру: для v \not\in \C u можно определить Iv как пересечение плоскости \C v с аффинной плоскостью \C(u + v) - Iu. Легко видеть, что это определение не ведёт к противоречию. Стало быть, произвол в определении эндоморфизма I состоит ровно в выборе комплексной структуры на какой-нибудь плоскости \C u, то есть таких структур одномерное пространство.

А жалко, было бы круто: на маломерных k-симплектических многообразиях автоматически бы возникали (почти) комплексные структуры. Они, как видно, действительно возникают, но на утолщениях со штейновыми слоями над ними. Этакие твисторы. Впрочем, научиться линейно-алгебраически находить комплексные структуры для трёх форм в размерностях как 4, так и 6, я не научился.