крест и радуга [entries|friends|calendar] Rodion Déev [ userinfo | livejournal userinfo ] [ calendar | livejournal calendar ]

Сечения кое-каких пространств флагов [10 Sep 2020|02:09am] [ mood | sick ] Пусть V -- векторное пространство размерности g > 2, и v \in V -- ненулевой вектор. Рассмотрим в пространстве Hom(V/v, V^*) конус матриц, имеющих за исключением v в ядре ровно один вектор. Скажем, если g = 3, такая матрица (с точностью до пропорциональности) определяется своим ядром (одномерным) и образом (также одномерным). Тем самым, параметризующее их многообразие есть многообразие Сегре P^1 \x P^2 = P(V/v) \x P(V^*) \subset P(Hom(V/v, V^*)) = P^5. Оно имеет коразмерность два, и общее его сечение плоскостью P^2 \subset P^5 состоит из нескольких точек. Есть однако и необщие. Именно, если V = H^{1,0} у какой-то общей (в частности не гиперэллиптической) кривой рода три, 1-форма (которую я тут обозначаю v) допускает трёхмерное семейство сохраняющих её деформаций. Их классы Кодаиры-Спенсера дают трёхмерное подпространство в Hom(V/v, V^*). Наше многообразие Сегре пересекает его по тем деформациям, которые сохраняют периоды ещё какой-то 1-формы, отличной от v. Для рода три мы знаем, что это сечение будет коникой (то есть иметь размерность на 1 больше, чем предсказано). Для общего случая мы знаем только, что это будет многообразие в P^{2g-4}, на котором лежит семейство P^{g-3}, параметризованное P^{g-2}. В частности, оно является гиперповерхностью. Нельзя ли как-то заключить отсюда, что оно действительно будет квадрикой? 2 comments|post comment

Тавтологическая 1-форма на пространстве модулей абелевых дифференциалов [15 Jun 2020|07:51pm] [ mood | awake ] [ music | АукцЫон -- 24-часовой концерт ] Пусть g > 1, обозначим за \Omega\T_g тотальное пространство расслоения Ходжа над пространством Тейхмюллера \T_g, и p -- проекция. Тогда можно определить на нём тавтологическую 1-форму \theta как \theta_{I, \omega}(v) = (dp_*(v))(\omega^2), пользуясь тем, что касательное пространство T_I\T_g канонически изоморфно H^0(K_I^2)^*. Эта форма нигде не обращается в нуль, поскольку у любого ненулевого абелева дифференциала квадрат не обнуляется хоть каким-то функционалом на пространстве квадратичных дифференциалов. Внешняя производная этой формы будет тем самым точной 2-формой. Однако она не может быть невырожденной, поскольку размерность dim \Omega\T_g = 4g-3 нечётна. Как вычислить эту внешнюю производную? Она имеет три компоненты: та, что определяется подстановкой двух вертикальных векторов, вертикального и горизонтального, и двух горизонтальных. В ограничении на слой, понятно, уже \theta тождественно зануляется, а тем самым и её внешняя производная, так что первая из этих компонент нулевая. Значение второй компоненты, легко видеть, выражается как d\theta(\alpha, v) = 2v(\alpha \o \theta). Как устроена горизонтальная компонента, я выписать в локальных координатах не смог. Э. Д., который навёл меня на мысль об этой форме, предположил, что интегральные кривые её ядра суть орбиты SL(2, R)-действия на пространстве модулей абелевых дифференциалов. Эта форма позволяет дать описание изопериодической деформации как симплектической редукции. Именно, ортогонал вертикального вектора \alpha, торчащего из точки (I, \omega) \in \Omega\T_g относительно 2-формы d\theta есть всё вертикальное подпространство плюс горизонтальные вектора, соответствующие функционалам, обнуляющимся на квадратичном дифференциале \alpha \o \omega. Пересечение ортогоналов ко всем вертикальным векторам (ортогонал вертикального подпространства), стало быть, есть линейная оболочка самого вертикального подпространства и горизонтального подпространства, состоящего из функционалов, обнуляющихся на всевозможных квадратичных дифференциалах вида \xi \o \omega, где \xi \in \Omega(I). Итак, если V_{I, \omega} = \Omega(I) -- вертикальное подпространство (в частности изотропное), то фактор V^\perp/V имеет смысл и канонически изоморфен касательному подпространству к листу изопериодического слоения, проходящему через точку (I, \omega). Если бы форма d\theta была невырождена, то этот фактор наследовал бы симплектическую форму. Это, конечно, не имеет места: изопериодическая деформация также нечётномерна, и имеет размерность 2g-3. Впрочем, это всё совершенно неважно, поскольку сама форма \theta ограничивается на листы изопериодического слоения нулём. Можно, конечно, дать аналогичную конструкцию для пары дифференциалов. Именно, рассмотрим расслоение 2-плоскостей Gr(2, \Omega\T_g) в расслоении Ходжа, и зададимся в нём какой-нибудь точкой (I, \varpi). Линейные комбинации произведений дифференциалов из этой плоскости \varpi составляют трёхмерное подпространство в квадратичных дифференциалах, которое аннулирует подпространство коразмерности три в касательном пространстве к Тейхмюллеру. Оттягивая его обратно в точку (I, \varpi) и повторяя эту операцию во всех точках, имеем распределение коранга три на пространстве модулей пар абелевых дифференциалов. Будем называть его тавтологическим распределением. Равно как для одного дифференциала, слои проекции на пространство Тейхмюллера и листы изопериодического слоения будут касаться этого распределения. Послойный грассманиан имеет размерность 5g-7, соответственно ранг распределения 5g-10. К сожалению, тензор Фробениуса в данном случае будет не внешней 2-формой, а внешней 2-формой с коэффициентами в расслоении ранга три, и поэтому сразу сделать заключение о наличии у него характеристического слоения, аналогичного тому, что нам с Э. Д. кажется слоением орбит SL(2, R)-действия, не представляется возможным. Из представленческих соображений кажется, что это распределение должно замыкаться за один шаг -- по крайней мере похожее, но однородное распределение на изотропном грассманиане Gris(2, V) с его родным распределением Hor_{\pi} = Hom(\pi, \pi^\perp/\pi) \subset Hom(\pi, V/\pi), кажется, замыкается за один шаг (и соответствующая ему нильпотентная алгебра есть кватернионный аналог алгебры Гейзенберга, абелева алгебра Ли размерности, делящейся на четыре, расширенная тремя симплектическими формами. Но полной уверенности нет. Для одного дифференциала получалась бы обычная алгебра Гейзенберга). Чтобы не заканчивать совсем уж вилами по воде, докажу линейно-алгебраическое утверждение, оправдывающее это моё сравнение. Утверждение. Отображение проекции Gr(2, \Omega\T_g) \to Gris(2, 2g) переводит горизонтальные подпространства (относительно тавтологического распределения, а не связности Гаусса-Манина) в горизонтальные. Доказательство. Про то, что на слоях проекции на Тейхмюллера проекция связностью Гаусса-Манина в когомологии является инъективной и горизонтальной, не стоит и заикаться. Значит, нам нужно показать, что лежащая в горизонтальных для связности Гаусса-Манина векторах часть тавтологического распределения переводится проекцией в горизонтальные касательные вектора к изотропному грассманиану. Но какие горизонтальные по Гауссу-Манину вектора лежат в тавтологическом распределении? Это подъёмы касательных векторов v \in T_I{\T_g} = H^0(K_I^2)^* таких, что v(\alpha \o \beta) = v(\alpha^2) = v(\beta^2) = 0. Касательное пространство же к изотропному грассманиану в точке \pi -- это отображения из Hom(\pi, V/\pi) с нулевым следом, а из них горизонтальные -- те, что лежат в Hom(\pi, \pi^\perp/\pi). Но горизонтальный по Гауссу-Манину вектор v отображается проекцией в ограничение соответствующего ему оператора Кодаиры-Спенсера на плоскость \pi, и если v(\alpha \o \beta) = v(\alpha^2) = v(\beta^2) = 0, то этот оператор переводит вектора из \pi в операторы, ограничивающиеся на \pi тождественным нулём -- то есть спаривания относительно формы пересечения с векторами из \pi^\perp, что и требовалось. ■ Маразм полный -- кажется, я это всё очень подробно уже прописал, и притом это очень окольными путями записанная тавтология. Типа, получается, что тавтологическое распределение это обратный образ однородного распределения на грассманиане. Возвращаясь к случаю одного дифференциала, выходит, что дифференциал тавтологической 1-формы должен быть обратным образом формы пересечения на когомологиях? Но это вроде как неправда. post comment

Шифферовские вариации и тёплицевы операторы [11 Jun 2020|03:29pm] [ music | Burt Totaro -- The Hilbert scheme of infinite affine space ] Капович доказал, что всякий класс первых когомологий на кривой можно представить мероморфной 1-формой с одним полюсом. Более того, кажется, этот полюс можно выбирать произвольно. Тем самым всякий класс когомологий на кривой с дыркой может быть представлен голоморфной формой. Пусть X -- кривая со связной границей, тогда отображение \Omega^1_{hol}(X) \to H^1(X, \C) сюръективно. Здесь \Omega^1_{hol}(X) обозначает голоморфные формы. Обозначим пространство их граничных значений B_X \subset \Omega^1(\partial X). Если мы заклеим границу диском по отображению f \in Diff(S^1), то комплексная структура на склейке устанавливается однозначно, см. ответ Ерёменко на mathoverflow. Формы из \Omega^1_{hol}(X), продолжающиеся внутрь диска по этой склейке, суть формы из B_X \subset \Omega^1(\partial X), лежащие в пересечении с пространством Харди (точнее, дифференциалы голомофрных функций на диске. Но это, с точностью до констант, и есть пространство Харди). Это пространство имеет размерность g, и отображением факторизации \Omega^1(X) \to H^1(X, \C) оно отображается в некоторое подпространство половинной размерности. Понятно, что если мы прокомпонируем отображение f с каким-то мёбиусовым преобразованием границы диска, комплексная структура на склейке не изменится. Тем самым, имеем отображение из 'малого универсального пространства Тейхмюллера' LUT = Diff(S^1) / PSL(2, R) в пространство Тейхмюллера, называемое вариацией Шиффера. Напомню конструкцию расслоения Ходжа(-Харди) над универсальным пространством Тейхмюллера. Рассмотрим гильбертово пространствo L = L^2(S^1) / const как тривиальное расслоение над Diff(S^1), и определим в нём непостоянное подрасслоение HH \subset L, слой которого над точкой f \in Diff(S^1) равен f^*(H^2), где H^2 \subset L^2 -- пространство Харди. Поскольку для f \in PSL(2, R) имеем f^*(H^2) = H^2, это подрасслоение оттягивается с подрасслоения, определённого над LUT = Diff(S^1) / PSL(2, R). Оно и называется расслоением Ходжа-Харди. Из этой картинки легко видеть, как устроена композиция отображения вариации Шиффера и отображения периодов. В тривиальном расслоении L \to LUT выбирается постоянное подрасслоение B_S, и рассматривается его пересечение с нетривиальным подрасслоением HH. Пересечение оказывается непостоянным расслоением ранга g, и изоморфно обратному образу расслоения Ходжа при отображении вариации Шиффера. Соответственно, проецируя B_S в когомологии, получаем эту композицию. Поскольку универсальное отображение периодов LUT \to \Lambda(L) в гильбертов лагранжев грассманиан голоморфно, а операции пересечений алгебраичны, получаем, что эта композиция голоморфна. Коль скоро отображение периодов из обычного пространства Тейхмюллера голоморфно и инъективно, отображение вариации Шиффера само голоморфно. Поучительно рассмотреть, как выглядит связность Гаусса-Манина на расслоении Ходжа-Харди. Именно, пусть b \in C^\infty(S^1) какая-то функция, так что b д/дt есть векторное поле на окружности. Тогда результат применения связности Гаусса-Манина к вектору h \in HH, то есть функции на окружности, голоморфно продолжающейся внутрь диска, таков: мы дифференцируем эту функцию по векторному полю, а затем проецируем на пространство Харди, то есть стираем все гармоники с неположительными номерами. Это, очевидно, есть оператор Тёплица с параметром b, а если расписать все производные, не путая производную по dz с производной по дуге окружности, получится оператор \nabla^{GM}_{b д/дt}h = T_b(z dh/dz). В связи с этим, к примеру, интересно было бы изучить, какой имеет смысл кривизна оператора Тёплица (то есть выражение [T_f, T_g] - T_{f'g - fg'}, или его аналог для вышеописанного модифицированного оператора Тёплица). Поскольку универсальное пространство Тейхмюллера однородно, эта кривизна может оказаться проще кривизны связности Гаусса-Манина в расслоении Ходжа над пространством Тейхмюллера. Но вообще надо понимать, что я выпускаю аналитические детали, и у меня с одной стороны банаховы или даже гильбертовы многообразия, а с другой многообразия Фреше, и всё сказанное это не более чем метафора, очень нечистоплотная, если пытаться выдать её за математическое утверждение. Например, тот факт, что подпространство B_S пересекает непостоянное подрасслоение HH по подрасслоению нигде не подпрыгивающего ранга (что должно следовать из склеиваемости комплексных структур), довольно сомнителен. Это я всё придумал, пока летел из Нью-Йорка в Атланту, а на следующий же день немедленно был облучён, имея возможность наглядно понять, какая чудовищная вещь Солнце, и как монструозен живущий в нём блейковский Бог, иже gives his light and gives his heat away. Руки до сих пор красные и немного болят. Не знаю как на это реагировать; зато перед этим залез на гору с портретами генералов Конфедерации. Когда слез, обнаружил при основании флагшток с флагом этой самой Конфедерации, под которым было очень сильно накурено марихуаной. Много ручьёв, и все чудовищно грязные: даже если вытереться как там искупался, потом всё равно приходится стирать одежду. Зато в одном из них с меня чуть было не унесло течением трусы; он же был наигрязнейший. post comment

Бирациональные соответствия между твисторами четырёхмерных многообразий [16 Apr 2020|09:11pm] [ mood | sick ] Профессор Ривин, герой незабвенного 2016-го года, проснулся от спячки и немедля наретвитил в свой закрытый твиттер каких-то bluecheck-ов в жанрах 'РРРРЯЯЯЯЯ подумайте ж вы об икономике...' и 'позднесоветская критика, обвиняющая миниатюры Жванецкого в русофобии и неуважении к людям труда' -- только вместо людей труда там были пациенты мичиганского ралли против самоизоляции, а вместо Жванецкого -- другие твиттерские bluecheck-и, замечающие, что эти пациенты имеют цель свести лично вас в могилу. Ну в принципе весь героизм 2016-го года был примерно такой, чего греха таить. А я пытался думать вот о чём. Самый простой способ увидеть, что ортогональные комплексные структуры на V = R^4 параметризуются CP^1, безо всяких кватернионов, таков: оператор комплексной структуры определяется своим (1,0)-подпросстранством V^{1,0} \subset V \o C. Оператор ортогонален тогда и только тогда, когда это подпространство изотропно относительно комплексно-линейного продолжения скалярного произведения на комплексификацию; стало быть, в проективизации оно представляет прямую, лежащую на гладкой квадрике. Они параметризуются двумя CP^1-ами, соответствующими двум ориентациям. Таким образом, твисторное расслоение S^4, которое может быть описано как многообразие пар (гиперплоскость в R^5, комплексная структура на ней), есть многообразие прямых, лежащий на гладкой квадрике в CP^4: такая пара определяет изотропную плоскость в комплексификации, и плоскость вкупе со своей комплексной сопряжённой порождают гиперплоскость, на вещественных точках которой возникает естественная ориентация. Тут я пытался понять, почему прямые на квадрике в CP^4 параметризуются CP^3 -- это уже чисто алгебраико-геометрический факт, верный даже над полем из одного элемента. По уму, конечно, надо построить какой-то квадратичный оператор типа вложения Плюккера, но чуть более хитрый; вместо этого я стал явно выписывать стереографическую проекцию, и конечно не преуспел. Ведь как устроено бирациональное соответствие между двумерной квадрикой и CP^2? Это стереографическая проекция: она сперва раздувает центр проекции, а потом сдувает прямые, проходящие через него. Куда при этом переходят два семейства образующих? Все прямые одного семейства, как известно, пересекают любую прямую другого, так что после сдутия они перейдут в две грозди прямых, проходящих через точки CP^2, в которые сдулись сдуваемые прямые (это, между прочим, называется биполярными координатами). При стереографической же проекции трёхмерной квадрики на ней раздувается точка, а сдувается ворох образующих конуса, который квадрика высекает на своём касательном пространстве. Получается коника в CP^3. А куда переходят прямые, лежащие на квадрике? Всякая прямая пересекает касательное пространство к гиперповерхности; если прямая лежала на квардике, то она и пересекает его по точке, лежащей на квадрике, то есть как раз на сдуваемом конусе. То есть прямые на квадрике проецируются в секущие коники -- но не во всякие, а лишь те, что не являются хордами, и не все, а лишь те, которые те проходят через центр проекции; в общем, такое мутное рассуждение можно доконать, но оно только запутает то, что должно быть просто. В рассуждении об этом я, снедаем двоякой жалостью и двояким же презрением к себе, а к тому же и просто голодом (который и был одной из причин этого презрения), уже ничего не мог сделать. Ну в самом деле, сколько можно жрать? Тем более если ты такой тупой, даже элементарных вещей сообразить не можешь. А с другой стороны жалко, что теперь всё лето придётся сидеть в бессмысленном городе, и жалко, что не получается заниматься даже такой идиотской математикой, притом что хочется-то заниматься интересной -- чтобы там были алгебраические числа, алгебраические кривые, спектральные кривые, эллиптические кривые, эллиптические операторы, операторы Дирака, операторные алгебры, алгебра Вейля, алгебра Вейля, алгебры Ли, математическая физика, димерная модель, случайные блуждания, аменабельные группы, фундаментальные группы -- только не группы Галуа! но куда там, до групп Галуа ещё не всякому позволено. Впрочем, алгебры Ли тут как раз по делу. Я писал как-то, сидя в кафе в Бухаресте, про то, как при помощи теории Ли доказывать следующий фольклорный факт: круглая трёхмерная сфера с U(2)-инвариантной КР-структурой, проколотая в одной точке, конформно эквивалентна трёхмерной группе Гейзенберга с лево-инвариантной КР-структурой. У него, по всей видимости, есть голоморфный аналог. Tвисторы CP^2 с метрикой Фубини-Штуди -- это некоторое расслоение на пространстве флагов Fl = U(3)/U(1) x U(1) x U(1). Пространство флагов, конечно, рационально; но в данном случае верно большее: этот бирациональный изоморфизм можно выбрать таким образом, чтобы он переводил горизонтальное распределение (перпендикулярное твисторному расслоению) в горизонтальное распределение. Тем самым, в частности, плоские кривые с крестовыми особенностями в CP^2 (поднимающиеся в пространство твисторов как гладкие горизонтальные кривые в силу тривиальных причин) отображаются в горизонтальные кривые в CP^3 и тем самым суперминимальные поверхности в S^4. Это доказывает знаменитую теорему Брайанта о том, что любая кривая может быть реализована минимальной поверхностью в S^4 (и показывает, что она на самом деле гораздо интереснее). Это рассуждение принадлежит Лоўсону; но в качестве бирационального соответствия между твисторами он выписывает какие-то невнятные формулы, которые должны очевидно возникать из теории представлений нильрадикалов каких-то нехитрых алгебр. Это пытался сделать Фрэн Буршталь из Баѳского университета, но что-то застрял (PDF, 108,3 кБ), если только оно не вышло под другим названием. Может, надо доделать. 1 comment|post comment

Шестимерная геометрия и браки в коммуне пансексуалов [11 Apr 2020|08:51pm] [ mood | anxious ] [ music | Дом Престарелых Аутистов -- Жуть ] Многие геометры, например Громов и Дональдсон, замечают важность в четырёхмерной геометрии 'гомоморфизма Тартальи' S_4 \to S_3, заданного действием группы симметрий тетраэдра на трёхэлементном множестве совершенных паросочетаний его вершин (и аналогичного гомоморфизма SO(4) \to SO(3)). Громов вообще утверждает, что геометрия есть не более чем исторический способ думать о комбинаторике индексов; если это о чём-то и говорит, то о том, насколько сложна комбинаторика. Если думать про совершенное паросочетание как про инволюцию без неподвижных точек, то, вспоминая, что конечное множество есть 'векторное/проективное пространство' (по мне скорее сфера) 'над полем из одного элемента', можно заключить, что совершенное паросочетание на полном графе есть комбинаторный аналог комплексной структуры на векторном пространстве. Соответственно, множество совершенных паросочетаний на K_{2n} -- это комбинаторный аналог однородного пространства SO(2n)/U(n). При n = 2 никакой более структуры на этом множестве нет, поскольку любые два паросочетания можно перевести подходящей перестановкой в любые два другие. Однако при n = 3 это уже неверно: два паросочетания могут иметь общее ребро, а могут не иметь. Это определяет на множестве паросочетаний шестиэлементного множества структуру графа. При n > 3 там будут и грани большей размерности (наверное, этот комплекс носит специальное название, но я не нашёл его даже для n = 3). Соответствующая геометрическая картинка довольно прозрачна: на факторе SO(6)/U(3) существует семейство рациональных кривых, каждая из которых состоит из комплексных структур, относительно которых инвариантно некое присущее этой кривой двумерное подпространство. Кривые, проходящие через данную точку, параметризуются CP^2, и вообще этот фактор всего биголоморфен CP^3. Это довольно стандартный факт, grigori любезно указал мне ссылку на статью (PDF, 124,6 кБ) Апостолова, Гранчарова и Иванова, где бегло об этм пишется. Опишем подробнее граф совершенных паросочетаний на K_6, который мы обозначим за Match(K_6). Для этого выберем раз навсегда вершину v \in V(K_6), впредь вершины, обозначаемые другими буквами, считая отличными от v. Этот выбор разбивает Match(K_6) на пять подмножеств, занумерованных вершинами, с которыми можно сочетать v. Эти подмножества трёхэлементны, и между ними имеются все рёбра (поскольку принадлежащие к ним паросочетания имеют общее ребро, начинающееся в v). Обозначим треугольник паросочетаний, для которых v ~ x, за T_x. Если \xi \in T_x, и y \neq x, то из \xi есть ровно одно ребро в T_y -- а именно в вершину, соответствующую паросочетанию, спаривающему v ~ y, x ~ \xi(y), и что там ещё осталось (здесь я снова пользуюсь конвенцией, согласно которой паросочетание это инволюция). Таким образом, для любой пары вершин x и y имеется естественная биекция между T_x и T_y. Однако эти биекции не задают тривиализации: композиция двух таких биекций отличается от сквозной биекции на транспозицию. Чтобы сказать, какую именно, зафиксируем опять вершину u \neq v, и построенными выше биекциями T_x с T_u зафиксируем 'локальную тривиализацию' V(Match(K_6)) = V(K_5) \x T_u. Оказывается, прямая биекция между T_x и T_y в терминах этой тривиализации есть транспозиция, неподвижной точкой которой является паросочетание u ~ v, x ~ y, и что там ещё осталось. Это не особо сложно проверить, но запись этого словами громоздка, проще нарисовать картинку для какой-то одной четвёрки, а потом воспользоваться S_6-инвариантостью всей конструкции. Вместе с тем, это полностью описывает рёберную структуру графа паросочетаний: он может быть представлен как 'расслоение' на треугольники над K_5 'с неплоской связностью'. Заметим, что выбор другой вершины v приведёт к другому 'расслоению'. Для SO(6)/U(3) параллельная картинка -- это твисторное расслоение. Выберем единичный вектор v, и отправим комплексную структуру I в вектор Iv \in S^4 \subset v^\perp. Слой этого расслоения параметризует ортогональные комплексные структуры на четырёхмерном пространстве \span{v, Iv}^\perp, то есть является рациональной кривой. Получающееся расслоение CP^3 \to S^4 со слоем CP^1 есть то же самое, что сопоставление прямой в C^4 содержащей её кватернионной прямой при рассмотрении C^4 как H^2. Слова 'то же самое' в данном случае бессмысленны, поскольку явного сопоставления кватернионной проективной прямой и единичной сферы в ортогонале к абы какому вектору я не привёл, но это можно сделать, просто мне лень. В этом расслоении имеется связность Эресманна, кривизна которой имеет коэффициенты в поворотах круглой сферы. У такого поворота имеется неподвижная точка; таким образом, пара касательных векторов к S^4 определяет конкретную точку слоя над ней (точнее, пару точек, отличающихся знаком). В этом выбор точки в S^4 параллелен выбору u в предыдущем абзаце, выбор касательных векторов -- выбору x и y. Соответственно, эта неподвижная относительно значения кривизны на этой паре векторов комплексная структура есть та, которая переводит v в u, сохраняет плоскость, натянутую на x и y, и определяющаяся этим одним из двух возможных способов, соответствующих двум ориентациям на этой плоскости. Геометрия твисторов четырёхмерной сферы не то что бы очень сложна, но нетривиальна и далека от завершения -- недавно Форстнерич положил статью про суперминимальные поверхности на архив например (суперминимальная поверхность в S^4 -- это такая, которая в твисторное расслоение поднимается всюду перпендикулярно слоям). Так что всё сказанное служит иллюстрацией к тому, до чего сложна комплексная стереометрия: если комбинаторика индексов у ней есть дискретизация небанального геометрического сюжета, то какова же геометрия? 5 comments|post comment

Универсальное пространство Тейхмюллера [02 Apr 2020|01:04am] [ mood | sick ] http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=tm&paperid=92 Кэлерова геометрия универсального пространства Тейхмюллера и коприсоединенных орбит группы Вирасоро А. Г. Сергеев Это я в связи с предыдущим постом. Идея такая: если взять два единичных диска и склеить их по диффеоморфизму окружности, получится CP^1, и образ граничной окружности будет контуром, определённым с точностью до проективного преобразования. Два таких контура будут эквивалентны, если и только если соответствующие диффеоморфизмы отличались на граничные значения мёбиусова преобразования диска; таким образом, пространство таких контуров как многообразие Фреше есть однородное пространство Diff(S^1) / PSL(2, R). Оказывается (это теорема Альфорса-Берса), условие на диффеоморфизм можно ослабить до дифференцируемости в смысле Соболева; фактор группы таких квазиконформных гомеоморфизмов по группе мёбиусовых преобразований есть универсальное пространство Тейхмюллера, в том смысле, что в него вложены все пространства Тейхмюллера поверхностей всевозможных родов. Фактор пространства функций на окружности по константам (в данном случае соболевских), как я и писал, допускает невырожденную симплектическую форму \omega(u,v) = \int_{S^1}udv, и, как утверждает Сергеев (со ссылкой на Нага и Суливана), отображая диффеоморфизм f \in Diff(S^1) в подпространство H_f, в которое он переводит пространство граничных значений голоморфных функций на единичном диске, имеем отображение Diff(S^1) / PSL(2, R) в гильбертов лагранжев грассманиан. Что он не упоминает -- это того, что это отображение можно мыслить как отображение периодов. Об этом, однако, уже в названии своей статьи говорят Нам и Сулливан; но к сожалению их текст пересыпан жаргоном (вроде 'квантовые комплексные структуры на окружности'), который, кажется, сейчас устарел. Они пытаются дать в этом контексте решение задачи Шоттки, замечая, что всякое подпространство, реализуемое таким образом, содержит плотное подпространство, замкнутое относительно умножения (и полагая, что это достаточное условие). Вместе с тем они, кажется, ничего не говорят о том, как это универсальное отображение Торелли связано с отображениями Торелли для обычных пространств Тейхмюллера. Мне кажется, связь на это могло бы пролить рассмотрение этого образования не как отображения в лагранжев грассманиан, а как вариацию структур Ходжа (например, попытаться понять смысл отображения Кодаиры-Спенсера). А вообще конечно мне кажется, что можно поступать ровно наоборот. В самом деле, всякая риманова поверхность рода g с одной дыркой определяет отображение фактора Diff(S^1) / PSL(2, R) в пространство Тейхмюллера Teich(g), полностью аналогичное описанному в первом абзаце -- заклеиванием по диффеоморфизму. И в самом деле, Нам и Суливан в конце упоминают некое 'отображение Кричевера', которое по римановой поверхности с одним проколом и ростком координаты в этом проколе, а также тривиализованному в этой координате линейному расслоению над поверхностью строит подпространство в L^2 от единичной окружности, получающееся как граничные значения мероморфных сечений этого расслоения, имеющих полюс только в проколе. Для канонического расслоения, говорят Нам и Суливан, и некого специального выбора 'данных Кричевера', они могут восстановить это подпространство по своему лагранжеву подпространству. В общем-то неудивительно, но связь этого со всем остальным остаётся туманной. post comment

Однородные пространства и орисферическая деформация [19 Jun 2019|02:49pm] [ music | Соломенные Еноты -- Блюз простого человека ] Пусть \g -- полупростая алгебра Ли. Подалгебра \p \subset \g называется параболической, если она коизотропна относительно формы Картана-Киллинга. Например, в алгебрах so(n,1) и su(n,1) параболическими являются подалгебры, стабилизирующие фиксированную изотропную прямую в пространстве, на котором они действуют векторными полями. По определению, естественное отображение из нильрадикала \p_+ \to (g/p)^* исчерпывает это пространство, тем самым кокасательное расслоение однородного пространства G/P изоморфно расслоению нильрадикалов. Теорема (Лобачевский). Нильрадикал параболической подалгебры в so(n,1) есть абелева алгебра. Соответствующая подгруппа P, конечно, действует на пространстве G/K, где G = SO(n,1), а K -- максимальная компактная подгруппа. Орбита этого действия называется орисферой. Несложно видеть, что элементы нильрадикала определяют полные киллинговы векторные поля на этой орбите. Поскольку они коммутируют, а число их таково же, какова размерность орбиты, из теоремы Лобачевского следует, что орисфера в (вещественном) пространстве Лобачевского имеет евклидову геометрию -- в каковом открытии одна из главных заслуг Лобачевского и состоит. Что до G = SU(n,1), то безымянный комплексный аналог теоремы Лобачевского гласит, что нильрадикал этой параболической подалгебры изоморфен алгебре Гейзенберга. Соответственно, орисфера в комплексном пространстве Лобачевского имеет гейзенбергову геометрию. Контактное распределение на ней -- это, разумеется, КР-распределение на орисфере как на вещественном подмногообразии в комплексной области коразмерности один. В случае пространства периодов SO(3,n)/SO(2) x SO(1,n) или верхнего полупространства Зигеля SO(2,g)/SO(2) x SO(g) всё уже не так просто. Стабилизатор предельного положения положительной плоскости -- то есть плоскости с неотрицательно полуопределённой метрикой -- довольно понятная группа, но фактор по ней не является компактным многообразием. Оно и понятно: такие плоскости имеют также предельные положения, соответствующие плоскостям, на которые метрика ограничивается тождественным нулём. Тем не менее, в маломерном случае SO(3,1)/SO(2) x SO(1,1) такой проблемы не возникает, а сама она допускает красивое геометрическое описание. Именно, в проективизации нули квадратичной формы сигнатуры (3,1) образуют двумерную сферу. Точки пространства периодов, то есть положительно определённые плоскости, соответствуют ориентированным прямым, которые не пересекают этой сферы, а предельные положения, то есть полуопределённые плоскости -- касательные к сфере. Соответственно, подгруппа, сохраняющая одну точку на таком 'абсолюте' (скажем, прямую l, касающуюся сферы в точке s) -- это группа матриц, верхне-треугольных в понятно каком базисе. Геометрически это группа проективных преобразований, сохраняющих флаг s \subset l \subset T_s{S}, где S -- сфера изотропных направлений. Поскольку параболической она не является, назовём её орисферической. Положительно определённые прямые (не пересекающие сферы) распадаются под действием орисферической подгруппы на четыре типа. Первый составляют прямые, не пересекающие ни l, ни перпендикулярной прямой l^\perp (единственных двух прямых, сохраняемых действием орисферической подгруппы). На них группа действует, кажется, свободно. Второй А (соответственно, второй Б) классы составляют прямые, пересекающие l, но не l^\perp (соответственно, наоборот). Их орбиты неизбежно состоят из прямых, пересекающих эти прямые, тем не менее, действие орисферической подгруппы на них всё же свободно. Последний класс составляют прямые, пересекающие и l, и l^\perp, то есть попросту лежащие в T_s{S}. Трёхмерное подпространство, проективизацией которого является T_s{S}, это пространство с двумя плюсами и одним изотропным направлением. Грассманиан положительных плоскостей в нём -- это вырожденная твисторная кривая. Твисторным кривым соответствуют в такой картинке множества прямых, содержащихся в фиксированной плоскости, не пересекающей сферы S. Таким образом, вырожденная твисторная кривая в такой ситуации является предельным положением орисфер первых двух типов, и наиболее маломерной орбитой орисферической группы. В большей размерности квадрика изотропных направлений устроена гораздо сложнее, чем сфера; вместе с тем линейная оболочка положительно определённой плоскости и полуопределённой плоскости не может иметь размерность больше четырёх, так что описанная ситуация возникает как сечение в любой размерности. Соответственно, имеет смысл говорить об орисферических деформациях гиперкэлеровых многообразий над некой трёхмерной базой. Интересно, какой? группой Гейзенберга? 4 comments|post comment

Подмногообразия в пространстве периодов комплексного тора [18 Feb 2017|07:32pm] [ mood | awake ] [ music | Žiarislav - Zem Slovenov ] Рассмотрим ориентированное векторное пространство V размерности 2n над \R. Пространство сохраняющих ориентацию эндоморфизмов V, равных в квадрате -Id, есть комплексное многообразие CS(V), диффеоморфное GL^+(2n,\R) / GL(n,\C). В частности, оно имеет комплексную размерность n^2. Всякая симметрическая билинейная форма g \in \Sym^2(V^*) на V определяет в CS(V) комплексное подмногообразие T_g, состоящее из эндоморфизмов, являющихся ортогональными отностительно g преобразованиями V. Для невырожденной формы g оно диффеоморфно SO(2n) / U(n) и имеет размерность n(n-1)/2. Аналогично, для всякой кососимметрической формы \eta \in \Lambda^2(V^*) в CS(V) имеется комплексное многообразие Z_\eta, состоящее из операторов I таких, что имеет место тождество \eta(Ix,Iy) = \eta(x,y) и для всякого ненулевого вектора x \in V выполнено неравенство \eta(x,Ix) > 0. Многообразие Z_\eta для невырожденной формы \eta диффеоморфно Sp(2n) / U(n) и имеет размерность n(n+1)/2. Многообразия T_g компактны, а Z_\eta штейновы (и имеют специальное название -- верхние полупространства Зигеля). Известное упражнение по линейной алгебре состоит в том, что T_g и Z_\eta пересекаются по единице. Хорошо известно, что ориентированное евклидово пространство вещественной размерности два имеет каноническую комплексную структуру, или что SO(2) \simeq U(1), или что T_g(V) = \pt в случае \dim V = 2. Можно задаться обратным вопросом -- именно, когда линейная комплексная структура на векторном пространстве определяется не симметрическими, а кососимметрическими формами. Если предполагать, что для k различных индексов подмногообразия Z_{\eta_i} пересекаются трансверсально, то размерность их пересечения равна n^2(1-k/2) + kn/2. Если k = 2, то размерность пересечения равна n, если k = 3, то (3n-n^2)/2 (имеет смысл только при n = 2 или 3), если k = 4, то 2n-n^2 (имеет смысл только при k = 2). Иными словами, логично предполагать, что общая тройка кососимметрических форм определяет комплексную структуру на шестимерном пространстве, а общая четвёрка -- на четырёхмерном (или, во всяком случае, дискретное множество таковых). Тем не менее, оказывается, что пересекаются они нетрансверсально. Рассмотрим четырёхмерное вещественное векторное пространство V и четырёхмерное подпространство E \subset \Lambda^2(V^*), порождённое выбранными нами формами. Куда комплексная структура, совместная с четвёркой, переводит вектор u \in V? Образ отображения подстановки \iota_u \colon E \to V^* содержится в трёхмерном пространстве u^\perp \subset V^* форм, обнуляющихся вектором u. Значит, отображение \iota_u имеет ядро, и для какой-то ненулевой кососимметрической формы \eta \in E вектор u содержится в её ядре. Поскольку форма \eta ненулевая, её ядро имеет размерность ровно 2. Конечно, если комплексная структура совместна со всеми формами из E, то это ядро должно быть комплексной прямой, проходящей через вектор u. Итак, четвёрка форм на четырёхмерном пространстве определяет для каждого вектора u плоскость \C u. Будем для простоты считать, что все наши формы определяют на этих плоскостях одинаковые ориентации. Можно ли однозначно восстановить, опершись на это знание, комплексную структуру? Нет! Тем не менее, если мы хотим от комплексной структуры, чтобы она переводила данный вектор u в данный вектор Iu \in \C u, то мы восстановим всю остальную комплексную структуру: для v \not\in \C u можно определить Iv как пересечение плоскости \C v с аффинной плоскостью \C(u + v) - Iu. Легко видеть, что это определение не ведёт к противоречию. Стало быть, произвол в определении эндоморфизма I состоит ровно в выборе комплексной структуры на какой-нибудь плоскости \C u, то есть таких структур одномерное пространство. А жалко, было бы круто: на маломерных k-симплектических многообразиях автоматически бы возникали (почти) комплексные структуры. Они, как видно, действительно возникают, но на утолщениях со штейновыми слоями над ними. Этакие твисторы. Впрочем, научиться линейно-алгебраически находить комплексные структуры для трёх форм в размерностях как 4, так и 6, я не научился. 7 comments|post comment

navigation [ viewing | most recent entries ]