Я читал об этой идее в статье [1]. Там показывается, как бумажный правильный тетраэдр погнуть так, что объем увеличится на 37% (поразительно!); доказывается, что подобная операция возможна к любому выпуклому многограннику с треугольными гранями, и высказана гипотеза, что операция применима к вообще любому выпуклому многограннику.

Коля Андреев снял мультфильм по мотивам этой темы [2].

Про J7 близко, но не вполне это (там часть граней неустранимо неплоские - скругленные).

Другая задача по теме: пусть у Васи есть многогранник из бумаги. Он разрезал его по ребрам, и послал Пете, подписав, какая грань с какой сходится по какому или каким ребрам. Тогда Петя может склеить с соблюдением этих правил, вообще говоря, и другой многогранник (известный пример: куб с четырехугольной пирамидой, приложенной к одной из граней - Петя может ее внуть вогнуть). Предположим, что у Васи многогранник выпуклый, а у Пети невыпуклый. Может ли оказаться, что объем многогранника у Пети больше? Это кажется немыслимым, но оказывается, что да, может (пример рассказал мне Шарыгин незадолго до смерти, не знаю, опубликован ли он где-либо).

[1] David D. Bleecker. Volume increasing isometric deformations of convex polyhedra // Journal Differential Geometry. 1996. V. 43. P. 505-526.

[2] http://www.etudes.ru/ru/mov/mov003/index.php

P.S. Что за странный сайт - обещает совместимость в livejournal, но ее не удается добиться ни из MSIE, ни из Opera.

Текст про Петю и Васю уже есть.
Мультик по этой задаче тоже снят
http://www.etudes.ru/ru/mov/mov002/index.php

В конце страницы ссылка на оригинальную работу С.Н. Михалева - во время написания статьи аспиранта И.Х. Сабитова.