|
|
|
|
|
|
|
10:31
[Link] |
Теорема Гильберта о базисе
Текст, довольно ниочёмный
Разобрал на два куска стандартное доказательство теоремы Гильберта о базисе. Ни о чём и длинно, но хоть какой-то контекст для этого доказательства даёт. Осторожно: запросто может быть ошибка.
СОГЛАШЕНИЕ 1. В дальшейшем слова ``фильтрация'' и ``градуировка'' означают ``\N_0-фильтрация'' и ``\N_0-градуировка'' соответственно.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Будем называть градуированный модуль M над ассоциативным унитальным градуированным кольцом R градуированно-нётеровым/градуированно-артиновым, если частично упорядоченное множество градуированных подмодулей M удовлетворяет условию стабилизации возрастающих/убывающих соответственно цепочек.
ТЕОРЕМА 1. Пусть R --- градуированное ассоциативное унитальное кольцо, а M --- фильтрованный R-модуль, такой что присоединённый градуированный R-модуль gr(M) градуированно-нётеров/градуированно-артинов. Тогда R-модуль M нётеров/артинов соответственно.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть M_0 \subset M_1 \subset M_2 \subset ... --- заданная фильтрация на M, а N --- R-подмодуль в M. Тогда на N индуцирована фильтрация N_0 := N \cap M_0 \subset N_1 := N \cap M_1 \subset ... и индуцировано градуированное вложение gr(N) = \bigoplus_{i = 0}^{\infty} N_i / N_{i-1} \to gr(M) = \bigoplus_{i = 0}^{\infty} M_i / M_{i-1}.
Докажем, что для вложенных R-подмодулей N \subset N' модуля M, таких что каноническое вложение gr(N) \to gr(N') биективно, выполняется равенство N = N'. Пусть это не так. Пусть r --- минимальное i \in \N_0, такое что каноническое вложение N_i \to N'_i не биективно. Тогда канонические вложения N_{r-1} \to N'_{r-1} и N_r / N_{r-1} \to N'_r / N'_{r-1} биективны, откуда следует, что вложение N_r \to N'_r тоже биективно --- противоречие.
Мы получили, что если N \subset N' \subset N'' \subset ... --- строго возрастающая цепочка R-подмодулей в M, то gr(N) \to gr(N') \to gr(N'') \to ... --- строго возрастающая цепочка градуированных R-подмодулей в gr(M), и аналогично для убывающих цепочек.
ТЕОРЕМА 2. Пусть M --- градуированный модуль над градуированным ассоциативным унитальным кольцом R. Тогда R-модуль M нётеров/артинов тогда и только тогда, когда R-модуль M градуированно-нётеров/градуированно-артинов соответственно.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Часть ``только тогда'' очевидна, докажем часть ``тогда''. Градуировка на M индуцирует фильтрацию на M, такую что присоединённый градуированный модуль gr(M) изоморфен M. Осталось применить теорему 1.
НАБЛЮДЕНИЕ 1. Пусть S --- частично упорядоченное множество, удовлетворяющее условию стабилизации возрастающих цепочек. Тогда частично упорядоченное множество монотонных отображений \N_0 \to S тоже удовлетворяет условию стабилизации возрастающих цепочек.
ТЕОРЕМА 3 (Теорема Гильберта о базисе). Пусть R --- ассоциативное унитальное нётерово слева кольцо. Тогда кольцо R[X] тоже нётерово слева.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. На R[X] имеется стандартная градуировка, такая что градуированные левые идеалы в R[X] имеют вид \bigoplus_{i = 0}^{\infty} I_i X^i, где I_0 \subset I_1 \subset I_2 \subset ... --- цепочка левых идеалов в R. Осталось воспользоваться теоремой 2 и наблюдением 1.
ТЕОРЕМА 4. Пусть M --- модуль над ассоциативным унитальным кольцом R, а N --- подмодуль в M. Тогда если модули N и M/N артиновы/нётеровы, то модуль M артинов/нётеров соответственно.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим R как градуированное кольцо, полностью сидящее в градуировке ноль, а M --- как модуль с фильтрацией N \subset M, после чего применим теорему 1.
upd. 03.11.2024 16.16 MSK. Мелкие правки.
upd. 20.11.2024 19.38 MSK. Мелкие правки.
upd. 17.11.2024 17.25 MSK. Спрятал.
Tags: math
| | |
| |
![[User Picture]](http://lj.rossia.org/userpic/203523/67884) | ![[info]](http://lj.rossia.org/img/userinfo.gif) yy |
| 2024-11-03 20:02 (Link) [1] |
| |
|
| | yy |
| 2024-11-03 21:07 (Link) [2] |
| |
|
|
| |
|
