studium: Топология, листок 1

(Добавить комментарий)

	pet531 2010-09-11 21:07 (ссылка)
	И да, может завести отдельную тему для обсуждения задач в комментах? (Ответить) (Ветвь дискуссии)

izh
2010-09-11 21:39 (ссылка)

Проективная плоскость без точки. Рассмотрим в \mathbb R^3
афинную плоскость z=1. Каждой прямой на данной плоскости
поставим в соответствие плоскость, проходящую через
начало координат (0,0,0) и возьмем прямую, ей ортогональную.
Получим множество всех прямых в \mathbb R^3, проходящих через
начало координат, кроме прямой Oz. А это есть проективная
плоскость без точки, на которой топология естественно
задается так: открытая окрестность прямой X (точки в \RP2)
есть множество прямых (точек в \RP2), составляющих с X
угол меньший 0 <\phi < \pi.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

agrin
2010-09-11 21:56 (ссылка)

Че? У меня есть смутное подозрение, что ты не то определение объяснил.

На самом деле конечно же это топология база которой - множества всех прямых пересекающихся с открытым подмножеством R^2.

А еще такая задача в вышке во втором семе на топологии была.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	izh 2010-09-11 22:38 (ссылка)
	Думаю, что упомянутая конструкция ту же топологию индуцирует. Хорошего доказательства сходу, впрочем, придумать не могу. (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	agrin 2010-09-11 23:08 (ссылка)
	Я твою конструкцию к сожалению так и не понял. Моя как минимум формулилуется в разы проще =) (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

ivandasch
2010-09-16 17:31 (ссылка)

Да просто любая прямая на плоскости задается в виде a*x + b*y + c = 0
Это не что иное, как точка на RP^2 с однородными координатами [a:b:c]. Проверка очевидна. Но прямая вида c = 0 невозможна, поэтому из RP^2 просто выкидываем точку и все. Победа. Соответственно топология на этом пространстве - стандартная фактор-топология в RP^2

(Ответить) (Уровень выше)

agrin
2010-09-20 05:36 (ссылка)

Перечитал еще раз. Ответ дан совершенно не на тот вопрос, который был задан. Слово _естественный_ в формулировке вопроса подразумевает естественное определение, которое так и не было дано. Правда построен некий явный теоретико-множественный изоморфизм с RP^2\pt, но никаким доказательством изоморфизма в смысле топологии даже и не пахнет - что неудивительно, так как определение естественной топологии на множестве прямых так и не было дано.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

izh
2010-09-20 23:09 (ссылка)

Верно, спасибо за замечание. Нетрудно, впрочем,
заметить, что построенное отображение из RP^2\{0}
задает топологию (естественную или нет) на множестве
всех прямых (S) очевидным образом: всякое подмножество
из S открыто, коль скоро открыт его прообраз в
\RP^2\{0}.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	agrin 2010-09-21 03:19 (ссылка)
	Да, безусловно. (Ответить) (Уровень выше)

	akapinus 2010-09-12 02:13 (ссылка)
	Можно создать топик под отдельный листок, и там его обсуждать. Потом можно создать верхний пост, где собрать ссылки на листки по каждому курсу (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

heller
2010-09-13 00:09 (ссылка)

Мне думается, что отдельный топик под каждый листок - это слишком до хрена. Тогда все сообщество забьется листками. А вот отдельные темы для задач, разбитых по неделям - вполне хорошо.

С другой стороны если под листок уже заведен топик, то задачи более правильно обсуждать там.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	akapinus 2010-09-13 10:30 (ссылка)
	Топик под отдельный листок и так создается; именно в этом топике можно обсуждать задачи (Ответить) (Уровень выше)

	pet531 2010-09-12 15:10 (ссылка)
	Всем спасибо. (Ответить)

	(Анонимно) 2010-09-14 23:30 (ссылка)
	А по анализу-1 есть листки? (Ответить) (Ветвь дискуссии)

	akapinus 2010-09-15 01:10 (ссылка)
	да, на сайте лежит (Ответить) (Уровень выше)