(По сравнению с теоркатом) близко к уровню понимания, но ещё не. В то же время, при упрощении ушли очень важные моменты.

>> бывает на ненулевых числах -- умножения.
А чо, на нулевых умножение отменили?

>> А есть еще целое семейство похожих операций, следующий уровень.
Каких? Что такое "похожие"?

>> С каждым числом можно связать двухместную операцию на неком множестве.
Это что за биекция такая exists a . N <-> (a -> a -> a) ? Вот это не понял совсем.

>> Числа образуют прямую, а в этом более сложном случае, получаются кривые.
Какая разница, если у нас множество всё равно равномощно R, и мы можем считать все операции на кривой операциями на R? Самопересечений-то у эллиптических кривых нет.

>> (Если последует вопрос, можно показать картинку, как складывать точки на кубической кривой.)
Как?

>> Бывают две отдельные точки, из одной в другую не пройдешь, не выходя за их пределы. А бывает окружность, на ней между двумя точками можно пройти двумя способами -- по часовой стрелке и против. А еще бывает сфера. А еще бывает тор, на нем есть окружности разных типов.
А какое отношение это имеет к эллиптическим кривым?

>> Люди это изучали, и придумали производные категории.
???

про производные категории не очень информативно. Твое старое объяснение про восстановление симметрии между ситуациями когда
Х внутри У и когда У внутри Х лучше; хотя и оно оставляет простор для совершенствования.

О, я совсем позабыл про то старое объяснение. Даже сейчас не могу сообразить, как бы это лучше сказать.

можно еще говорить про гомотопическую алгебру, что это наука про то как важно не только что А это Б, но также важно помнить как именно мы отождествили А с Б, и помнить про отождествления между отождествлениями, и отождествления между отождествлениями между отождествлениями и т.п., так сказать оперировать с ментальным актом идентификации А и Б как с новой вещью, с которой можно оперировать (почти) так же как с исходными А и Б.

Можно дальше спекулировать в том духе, что вообще мышление так устроено: при слове "кошка" обычно не вспоминают всех виденных кошек, и даже не столько думают о признаках, отличающих кошек (хотя если попросить определить что такое кошка станут формулировать такие признаки) -- т.е. на самом деле не оперируют с классом эквивалентности, а с внутренней структурой класса и взаимоотношениями с другими классами, так сказать важны не объекты,
и не классы изоморфизма, а морфизмы, или даже 2-морфизмы... Но надо признать, что спекуляция несколько размытая.

Это гуманитарщина такая, да (неплохая).

А мои два объяснения решают разные задачи. Если человек, который совсем никакой (современной научной) математики не знает, спрашивает что такое гомологическая алгебра/производные категории/..., можно на пальцах что-нибудь из топологии объяснить. Скажем, какие бывают замкнутые кривые на торе, и т.п.

(Однажды я рассказал моей родственнице, музыканту-come-медсестре, формулировку теоремы Эйлера про эйлерову характеристику выпуклых многогранников, в качестве объяснения, "чем я занимаюсь". Ну, в таких случаях, как известно, чувствуешь себя педагогическим гением ровно до тех пор, пока не слышишь обратно, как обучаемый тебе излагает свои впечатления. Много лет спустя она спрашивала меня, типа, по-прежнему ли я занимаюсь, ну вот этим, про многогранники. Ср. самый первый коммент к этому постингу, выше.)

А что исчезает разница между X вложенным в Y и Y вложенным в X, это можно рассказывать человеку, который уже знает чего-то. Что такое топологическое пространство, например, или группа, хоть что-нибудь.

блин, я то надеялся узнать, что такое производные функторы))

А что такое факторгруппа, вы знаете? И, например, что такое действие группы на множестве?

да(и то, и другое)

Вот начало изложения постановки задачи, которую решает конструкция производного функтора инвариантов действия группы на абелевой группе (известного иначе как когомологии групп). Не самой конструкции, т.е., не решения, а именно постановки этой задачи.

Пусть группа G действует автоморфизмами на абелевой группе B; тогда B называют еще "G-модулем". Если A -- подгруппа B, то может случиться так, что операторы действия G отображают A в себя (переводя элементы B, принадлежащие A, в какие-то другие элементы, тоже принадлежащие A). Тогда A называется G-подмодулем в B.

В этой ситуации, можно определить действие G на факторгруппе B/A, поскольку операторы действия G переводят смежные классы B по A в смежные классы. Группа B/A с этой структурой G-модуля называется фактормодулем G-модуля B по его подмодулю A.

Рассмотрим такой функтор: G-модулю B сопоставляется подгруппа в B, состоящая из всех элементов, которые всеми операторами действия G переводятся в себя, т.е. всех таких b ∈ B, что g(b) = b для всех g ∈ G. Это подгруппа в B, и даже, строго говоря, G-подмодуль, но поскольку действие G на этом подмодуле тривиально (все операторы действия G тождественные, по определению), то на подгруппе этой нет другой структуры, кроме структуры абелевой группы. Подгруппа эта называется подгруппой G-инвариантных элементов в B и обозначается через B^G.

Пусть теперь имеется G-модуль B, в нем G-подмодуль A, и фактормодуль C = B/A. Зададимся вопросом: как связаны между собой подмодули G-инвариантных элементов A^G, B^G и C^G?

Утверждается, что: 1. A^G есть подгруппа в B^G (это совсем очевидно); 2. имеется естественным образом определенный гомоморфизм абелевых групп B^G в C^G (это нетрудно проверить -- в сущности, это частный случай несложного общего утверждения, что сопоставление B → B^G является ковариантным функтором); 3. ядро отображения B^G → C^G естественно изоморфно A^G (проверьте!).

Отсюда можно было бы сделать вывод, что C^G есть факторгруппа B^G по A^G, если бы мы знали, что отображение B^G → C^G сюръективно. Но это последнее в общем случае неверно. Функтор, переводящий B в B^G, не переводит, вообще говоря, сюръективные отображения в сюръективные. Это называется "нарушением точности": говорят, что функтор G-инвариантов, вообще говоря, не точен, но только точен слева.

Упражение: привести контрпример, показывающий, что отображение B^G → C^G (в обозначениях выше), в самом деле, может быть несюръективным.

Вопросы: 1) понятно ли вышеизложенное? 2) знали ли вы все это раньше? 3) можете ли вы решить упражнение? И, кроме того: 4) знакомы ли вы с терминологией "комплекс" и "точная последовательность"?

Попробую я.:)
1) Да
2) В общих чертах. Конкретно этот пример, нет.
3) Пусть B=Z, A=2Z, C=Z2, G=Z, действующий так: n->n+2k
Тогда BG тривиальна, а CG=C, и только 0 - образ элемента из BG.
4) Да, да.

Вы считаете, что n->n+2k -- это действие Z на Z автоморфизмами? (Возможно, мне следовало остановиться подробнее на этом понятии, а то, как я погляжу, кто-то испугался, а кто-то и путается.)

Упс, это не гомоморфизм получается.:)

Ну тогда n->3nk ?

А это разве действие вообще?

Да я уж и сам заметил, пардон. Надо подумать.

Ну, попробую аккуратнее.
B=Z4 (0, e, 2e, 3e), A=Z2 (0, 2e), C=Z2 (0, e).
Пусть G=Z2, и действует умножениями на 3.
Тогда BG=Z2 (0, 2e), а CG=C. При отображении BG->CG элемент 2e принадлежит ядру, а e в CG остается без прообраза.
Или опять наврал? :)

Вот этот пример совершенно правильный.

Ну, собственно, все остальное вы, наверное, тоже слышали.

Краткое повторение вышеизложенного на другом языке: короткой точной последовательности G-модулей

0 → A → B → C → 0

функтор G-инвариантов сопоставляет точную последовательность абелевых групп

0 → A^G → B^G → C^G

(конец краткого повторения вышеизложенного).

Теперь целью теории производных функторов G-инвариантов (когомологий групп) является продолжение последней обрывающейся точной последовательности до длинной точной последовательности абелевых групп

0 → A → B → C →
H¹(G,A) → H¹(G,B) → H¹(G,C) →
H²(G,A) → H²(G,B) → H²(G,C) →
...

Здесь Hⁱ(G,M) -- некие ковариантные функторы, сопоставляющие G-модулям абелевы группы (ковариантные по G-модулю M и, на самом деле, в некотором смысле контравариантные по группе G). Стрелки в конце каждой строчки функториально зависят от короткой точной последовательности G-модулей 0 → A → B → C → 0. По определению, полагают H⁰(G,M) = M^G.

Самое важное в этой формулировке -- это феномен 3-периодичности, который здесь можно наблюдать. Препятствия к сюръективности отображения B^G → C^G лежат в некой абелевой группе, зависящей только от G-модуля A, а именно, H¹(G,A). Если задан некий элемент этой последней группы, то препятствия к возможности поднять его до элемента из C^G зависят только от G-модуля B, и т.д.

Спасибо.
Только в этой длинной точной последовательности, наверно, должны быть в начале A^G, B^G, C^G?

Для понимания.
Я помню построение длинной точной последовательности когомологий из короткой точной последовательности комплексов. Эта длинная последовательность так и получается из первой короткой, если модули достроить до комплексов?

А стрелка из C^G должна ведь быть сюрьективной для точности?
Получается, что H¹(Z₂, Z₂)=Z₂?

Да-да, конечно:

0 → A^G → B^G → C^G →
H¹(G,A) → H¹(G,B) → H¹(G,C) →
H²(G,A) → H²(G,B) → H²(G,C) →
...

Да, так и получается. Так или иначе, в любой из конструкций, H*(G,M) суть когомологии какого-то комплекса, который строится (однозначно или с использованием произвольного выбора) по G и M. С короткой точной последовательностью модулей коэффициентов связана короткая точная последовательность таких комплексов.

Образом стрелки из C^G является ядро отображения H¹(G,A) → H¹(G,B), в этом состоит точность.

H¹(Z/2, Z/2) = Z/2, это верно. Вообще, при тривиальном действии G на М, группа первых когомологий H¹(G,M) изоморфна группе всех гомоморфизмов групп G → M.

>>А стрелка из CG должна ведь быть сюрьективной для точности?
>Образом стрелки из CG является ядро отображения H1(G,A) → H1(G,B), в этом состоит точность.
Я имел в виду тот конкретный контрпример выше, где образ B^G→C^G нулевой, поэтому ядро отображения в H¹(G, A) тоже должно быть нулевое.

Можно еще вопросы? :)
Я так понимаю, все это используется для изучения групп и их расширений.
Но в H^*(G, A) группы G и A играют разную роль. Есть ли какое-то соответствие между H^*(G, A) и H^*(A, G)?
Если не ошибаюсь, в алгебр. топологии группа коэффициентов обычно играет вспомогательную роль, используют в основном R или Z, и ее меняют в основном для упрощения вычислений. Так ли это в этой науке?

В том примере, из того что отображение B^G → C^G нулевое, следует, что C^G вкладывается в H¹(G,A). Чтобы доказать, что это вложение является изоморфизмом, нужно еще как-то убедиться, что отображение H¹(G,A) → H¹(G,B) нулевое.

Соответствия между H*(G,A) и H*(A,G) нет, да и области определения у этих двух образований разные (если даже считать, что действие G на A тривиально, то все равно H*(G,A) имеет смысл для произвольной группы G и абелевой A -- хотя можно определить группу H⁰(G,A) и группу H¹(G,A) для неабелева G-модуля A, но с дальнейшими номерами когомологии бывают только с коммутативными коэффициентами).

В этой науке важны когомологии с коэффициентами в произвольных G-модулях, не только в тривиальных. В топологии это соответствует когомологиям произвольных локальных систем. Когомологии группы G с коэффициентами в G-модуле M изоморфны когомологиям топологического пространства K(G,1) с коэффициентами в локальной системе, соответствующей M.

А, ну да, конечно. Но в данном случае, если наоборот, знать, что H¹(G, A)=Z₂, то это вложение тогда и будет автоматически изоморфизмом.

Ну я пока воздержусь от дальнейших вопросов. Чтобы дальше спрашивать, надо больше знать, а то вопросы станут совсем глупыми.:)
Спасибо за помощь. Я стал понимать чуть лучше, как это все выглядит, и зачем нужно.

т.е., множество H¹(G,A), конечно.

Чего-то по темноте 2. не понял (я типа знаю про производные категории)

Подразумевается, что можно на пальцах объяснить, что такое гомологии (топологических пространств), а остальное замять.

Ага, понял

А как остальное-то замять, это ж самое главное. Нужно популярное объяснение производных функторов для тех, кто знает гомологии топологических пространств.

Рассматривается какой-нибудь конкретный функтор. Пишется короткая точная последовательность аргументов, функтор переводит ее в обрывающуюся точную последовательность значений. Производный функтор есть способ продолжить эту обрывающуюся последовательность до длинной точной последовательности (с известной 3-периодичностью).

Это объяснение не "для ребенка" в смысле этого постинга (т.е. я сам выучил эту науку в 14 лет, а здесь, скорее, речь о том, что можно было объяснить мне 10-летнему) -- но лучшего объяснения я не вижу.