deevrod: Теорема Гаупта-Каповича для эллиптических классов

Настроение:	lethargic
Entry tags:	геометрия, геометрия/задача Каповича

Теорема Гаупта-Каповича для эллиптических классов
На сфере с ручками у эллиптического класса когомологий -- то есть такого, что интегралы его по всевозможным контурам составляют решётку ранга два в \C -- имеется индекс. Капович определяет его как отношение эрмитовой длины этого класса к кообъёму решётки его периодов. Это выражение инвариантно при умножении на число, то есть зависит только от натянутой на него комплексной прямой. В терминах соответствующего вещественного подпространства с комплексной структурой эллиптичность означает, что это подпространство порождено векторами решётки. А у двумерной подрешётки в Z^{2g} со стандратной симплектической формой тоже есть свой инвариант: это определитель, то есть наибольшее целое число, которому кратно значение \omega(x, y) на любой паре векторов x, y из этой подрешётки. Написав их вещественные и мнимые части, легко видеть, что определитель симплектической подрешётки равен индексу прямой, которая её порождает. Группа Sp(2g, Z) действует транзитивно на подрешётках ранга два с данным определителем; более того, если реализуется абелевым дифференциалом какая-то ходжева прямая в комплексификации данной подрешётки ранга два, то реализуются и все остальные: реализуемость даёт отображение в эллиптическую кривую, то есть ветвящееся накрытие, а потом выбирая другую комплексную структуру на кривой и сохраняя точки ветвления, мы получим все остальные прямые. Таким образом, определитель подрешётки, сиречь индекс класса когомологий, есть единственный инвариант реализуемости. Тем самым, задача о реализуемости эллиптического класса индекса d на кривой рода g сводится к топологической задаче о существовании d-листного разветвлённого накрытия над двумерным тором, род накрывающего пространства которого равняется g. Ну а это уже не бог весть что такое; так, для d = 2 реализуется что угодно (нужно взять 2g-2 точки ветвления), а дальше как-нибудь попортить это накрытие, пользуясь тем, что тор накрывает себяже сколько угодно раз.

Стало быть, чтобы решить задачу Каповича для эллиптической пары, нужно для начала установить алгебраические инварианты симплектических подрешёток ранга четыре в стандартном симплектическом Z^{2g}. Это всё должно быть в литературе XIX века, но где её искать.

(Добавить комментарий)

tiphareth
2020-12-16 10:01 (ссылка)

есличо, такие кривые много изучаются
в трудах Зорича, Эскина, Семена Филипа и около
это в точности кривые, которые получаются
склейкой одинаковых параллелограммов, и то же самое,
что орбиты потока тейхмюллера от "square tiled surfaces",
можешь погуглить это выражение, есть сотни
статей про них, типа вот
https://www.researchgate.net/profile/Anton_Zorich/publication/27273311_Square_Tiled_Surfaces_and_Teichmuller_Volumes_of_the_Moduli_Spaces_of_Abelian_Differentials/links/543bc1a70cf204cab1db26ec/Square-Tiled-Surfaces-and-Teichmueller-Volumes-of-the-Moduli-Spaces-of-Abelian-Differentials.pdf
модная тема, молодежная и современная

(я даже ей немного занимался, через прокси
в виде милейшей Сесиль Гаше)

но в чем состоит твой вопрос, из твоей
эпистолы усвоить не сумел

(Ответить) (Ветвь дискуссии)

deevrod
2020-12-16 19:01 (ссылка)

мой вопрос такой: пусть V = Z^{2g} с симплектической формой
\omega = \sum_{i=0}^{g-1} dx_{2i} \wedge dx_{2i+1}

1) Пусть U, U' \subset V -- два подмодуля ранга два с одинаковым
определителем (то есть образующие \Lambda^2_Z(U) и \Lambda^2_Z(U')
спариваются с \omega одним и тем же целым числом). Доказать,
что существует элемент g \in Sp(2g, Z) такой, что gU = U'.

2) Найти полный перечень алгебраических инвариантов для симплектического
подмодуля ранга четыре, при совпадении коих у двух подмодулей V один
переводится в другой элементом Sp(2g, Z). Очевидно, таким является
определитель (то есть число, которым спаривается образующая \Lambda^4_Z(U)
с вектором \omega \wedge \omega). Но подозреваю есть и другие.

Поверхности в клеточку это не то же самое, что накрытия эллиптической
кривой: это накрытия эллиптической кривой, разветвлённые в одной точке
(той, в которую склеиваются вершины квадрата). Так, из двух квадратов
нельзя склеить никакую поверхность, кроме тора, в то время как кривую
всякого рода можно двулистно отобразить на эллиптическую кривую
(следует взять двойное накрытие ея, разветвлённое в 2g-2 точках).
Мой топологический вопрос состоял в следующем: для всякого рода g
и для всякой степени d > 1 найти кривую рода g,
отображающуюся на эллиптическую кривую со степенью d. Если
мой вопрос 1) выше верен, то из этого утверждения будет следовать
главный случай теоремы Каповича.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

tiphareth
2020-12-17 00:25 (ссылка)

> Доказать,
> что существует элемент g \in Sp(2g, Z) такой, что gU = U'.

для квадратичных форм ответ на все подобные вопросы излагается в
книжке Кнезера (но подобного уровня вопросы можно и руками,
я давал студентам вопрос про описание орбит ортогональной
группы для формы пересечения K3, и они как-то решали даже)

мне нужно было более сложный вопрос
(про конечность числа орбит заданной длины
для любой решетки, не обязательно унимодулярной),
я спросил на mathoverflow, какой-то добрый китаец
принес мне ссылку на Кнезера, это книга, где есть
более-менее все про квадратичные решетки
Думаю, и тебе надо туда обратиться, наверняка
для симплектической группы есть какие-то аналоги.

Кстати, в 19-м веке оно было абсолютно неизвестно,
почти все результаты в этой науке Витта, Эйхлера
и самого Кнезера.

>Пусть U, U' \subset V -- два подмодуля ранга два с одинаковым
>определителем (то есть образующие \Lambda^2_Z(U) и \Lambda^2_Z(U')
>спариваются с \omega одним и тем же целым числом). Доказать,
>что существует элемент g \in Sp(2g, Z) такой, что gU = U'.

Я пытался придумать в общем виде, не преуспел,
но вот тебе простое доказательство для g=2.
Используем изоморфизм $Sp(4, \Z)=SO(2,3)$,
который получается так: действуем $Sp(4, \Z)$
на $\Lambda^2(\Z^4)= \Z^6$, на этой решетке
есть невырожденное спаривание из-за формы
объема на $\Z^4$, а $Sp(4, \Z)=SO(\omega^\bot)$,
где $\omega\in \Lambda^2(\Z^4)$ твоя симплектическая
форма.

Теперь, транзитивность $Sp(4, \Z)$ на примитивных
бивекторах с заданным детерминантом превращается
в транзитивность $SO(\omega^\bot)$
на примитивных векторах с заданным квадратом,
а сие хорошо известно (для унимодулярных
форм орбита заданной длины всего одна; Кнезер тж)

Хочется свести общую ситуацию
к 4-мерной, не соображу как.

На примитивных векторах
симплектическая группа действует очевидно транзитивно,
так что можно считать, что тебя интересует орбиты в $\Lambda=\Z^{2g}$
относительно стабилизатора \Gamma_x в Sp(2g,\Z), для
заданного вектора $x\in \Z^{2g}$.
Ты хочешь доказать, что единственный $\Gamma_x$-инвариант
примитивного вектора $y$ это $\omega(x, y)$
(если $\omega(x, y)$ ненулевое, если нулевое, там есть
еще инварианты).

Вот тебе явное описание группы Gamma_x, может,
пригодится.

Рассмотрим точную последовательность
\[
0 \arrow P \arrow \Gamma_x \arrow Sp(2g-2,\Z) \arrow 0
\]
где $P$ это подгруппа, которая тривиально действует на
$\Lambda_x:=x^{\bot}/=\Z^{2g-2}$, факторе ортогонала к x по x.
Тогда $P$ это абелева группа, изоморфная
$(x^{\bot})^*$. Для каждого $\theta \in (x^{\bot})^*$,
соответствующий элемент $P$ переводит $z\in (x^{\bot})^*$
в $z+ \theta(z) x$, это однозначно задает действие
$P$ на $\Lambda$.

>для симплектического подмодуля ранга четыре

спроси на mathoverflow
руками оно тоже делается, но геморрой на неделю, если не две

>это накрытия эллиптической кривой, разветвлённые в одной точке
>(той, в которую склеиваются вершины квадрата)

с одной стороны, любая поверхность в клеточку проектируется
на эллиптическую кривую

с другой стороны, если она проектируется на эллиптическую
кривую, у ней есть одномерный комплексный тор в якобиане

то есть это одно и то же

>для всякого рода g
>и для всякой степени d > 1 найти кривую рода g,
>отображающуюся на эллиптическую кривую со степенью d.

то есть найти примитивную подструктуру Ходжа
с заданным определителем в структуре Ходжа
веса 1 с главной поляризацией.

Это не то чтобы сильно трудно: возьми
любую 2-мерную подрешетку с заданным определителем, и
возьми структуру Ходжа, которая ее сохраняет.

Такие дела
Миша

(Ответить) (Уровень выше)