deevrod: Векторное пространство без непрерывных функционалов

Настроение:	calm
Entry tags:	геометрия, математика

Векторное пространство без непрерывных функционалов
Придумал очень простой пример векторного пространства без непрерывных функционалов. Рассмотрим комплексный тор X, а на нём пространство мероморфных функций M(X) (с какой-нибудь разумной топологией, наверняка её можно выбрать локально выпуклой). Тор X действует на пространстве M(X) левыми сдвигами, это определяет отображение из тора в непрерывные эндоморфизмы M(X). Обозначим линейную оболочку его образа за L. Размерность L больше 1, поскольку действие тора нетривиально. Функционал f на L определяется своими значениями на образе тора. Но ограничение f на тор -- константа, значит, на L с точностью до пропорциональности ровно один функционал, и фактор L, например, по подпространству, натянутому на тождественный эндоморфизм, не допускает функционалов.

(Добавить комментарий)

	pet531 2016-09-27 23:03 (ссылка)
	Извини, почему ограничение на тор - константа? (Ответить) (Ветвь дискуссии)

	deevrod 2016-09-27 23:14 (ссылка)
	Тор же голоморфно действует сдвигами. Обратный образ голоморфной (линейной) функции вдоль голоморфного отображения голоморфен. (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	pet531 2016-09-28 00:26 (ссылка)
	Так а почему отображение голоморфное будет? Тор же в какой-то пиздец отображается, что это будет значить вообще. (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	deevrod 2016-09-28 00:29 (ссылка)
	А голоморфное действие на комплексном векторном пространстве -- это не то же самое, что голоморфное отображение в группу его автоморфизмов? (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	pet531 2016-09-28 00:32 (ссылка)
	А что за группа автоморфизмов такая в данном случае, и какая у неё комплексная структура? (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

deevrod
2016-09-28 01:15 (ссылка)

Ты прав.

https://arxiv.org/pdf/1501.06269.pdf

> If E is not normable, there is no vector topology on L(E), for which the composition map is continuous ([Mais63, Satz 2])

(то есть в этом случае доказательство, может, и заделывается, потому что всё-таки специальное действие на специальном пространстве, но пример уже не будет таким изящным)

(Ответить) (Уровень выше)

	pet531 2016-09-28 00:41 (ссылка)
	Например, тебе нужно предъявить такую топологию на мероморфных функциях, в которой вычет в точке - не непрерывный функционал. (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	deevrod 2016-09-28 00:58 (ссылка)
	А почему? (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	pet531 2016-09-28 01:13 (ссылка)
	Фиксируем какую-то 1 форму, чтобы считать от неё вычет. Фиксируем функцию v и точку x. Рассмотрим такой функционал f на End(M): f(A) = Res_x Av. Тогда на торе будет f(t) = res_tx v, т.е. даже не непрерывная функция. (Ответить) (Уровень выше)

(Анонимно)
2016-09-28 11:47 (ссылка)

Свежий шедевр звезды угличской поэзии. На ваш суд, ценители прекраснаго:

Я ехал сегодня в маршрутке
На заднем сиденье сидел
Казалось бы, хули не ехать
Но кто-то в салон напердел

Я тщетно пытался осилить
Замок той маршрутки окна
А по салону растекся
Тем временем запах гавна

Вонючий, как жопа бомжихи
Внезапный, как в спину удар
Пропитывал каждую клетку
Тот смрадно-фекальный кумар

Но вот и моя остановка
О боги, спасенье пришло!
Друзья, не пердите в маршрутках
Чтобы было всем нам хорошо

(Ответить) (Уровень выше)