В учебники меня тыкать не обязательно: я в матшколах не учился, а потому привычки рассуждать о вещах, в которых вообще не разбираюсь, не имею ;) С Дираком я действительно лажанулся (привык к чётным степеням, а у Дирака она 1, и потому тут "хорошее" поведение главного символа определяется обратимостью матрицы, а не знакоопределённостью квадратичной формы). А вот что касается дискретности спектра, то Вы таки забыли "малость": компактность области. Может, конечно, в струнной физике некомпактных многообразий и не рассматривают (не знаю и знать не особо рвусь), но вот в обычной, неструнной — сколько угодно.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Так я с этого и начал: определить размерность ядра
и минимальное ненулевое собственное значение Дирака
на каком-нибудь простом компактном многообразии.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Во-первых, минимальное по абсолютной величине, я так полагаю? Он ведь таки неполуограничен (с чего, в свою очередь, начал я).

Во-вторых, не вижу тут ни малейшей необходимости ни в Атье, ни в Зингере (вариационных принципов для СЗ выше крыши будет).

В-третьих, я не зря выше упоминал про корректные задачи: задача определения суммарной кратности на некоторой области спектра приближённо заданного оператора (т.е. у которого потенциалы etc. известны лишь с некоторой погрешностью) для приложений едва ли не более интересна, чем задача о точном нахождении спектра точно заданного оператора. И вот те же вариационные методы с такой задачей заведомо справятся, а как насчёт Атьи-Зингера?

В-четвёртых, на любой оператор (и оператор Дирака тоже) можно смотреть с тысячи разных сторон, и прямая спектральная задача — лишь одна из них. Ещё можно исследовать группу симметрий диффура; обратную спектральную задачу и решаемые на её основе нелинейные уравнения; задачу управления решениями и прочая, прочая, прочая. Со всех этих точек зрения уравнение Дирака тоже ничем не будет отличаться от уравнения теплопроводности?

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent)