Настроение:	anxious
Музыка:	дора -- дорадура
Entry tags:	геометрия, геометрия/задача Каповича

Трюк Мозера и лемма о топологизации для эллиптических абелевых бидифференциалов
Про то, что вырожденная твисторная деформация для точной деформирующей формы на базе задаёт гомотопию гладкого сечения в голоморфное при неизменной комплексной структуре на тотальном пространстве, я уже писал. Давайте смотреть на эту ситуацию ещё чуть по-другому.

---

Пусть у меня есть семейство голоморфно симплектических структур (X, \sigma_t) на многообразии X, расслоение X \to B, которое лагранжево для всех \sigma_t, и его сечение S, голоморфное для \sigma_0. Я утверждаю, что если выполнено гомологическое тождество [\sigma_t]|_S = 0, то у сечения S существует деформация S_t такая, что S_t голоморфно для \sigma_t.

---

Поскольку сечение S голоморфно, имеем \sigma|_S = 0. Для бесконечно малого t имеем \sigma_t|_S = d\eta_t, где \eta_t есть какая-то 1-форма. Форма \sigma спаривает кокасательное и нормальное расслоение к S, переводя \eta_t в нормальное векторное поле (которое может быть выбрано вертикальным). Осуществляя бесконечно малое перенесение назад вдоль этого векторного поля S как гладкого подмногообразия, получаем сечение S_t, голоморфное в структуре \sigma_t. ■

Заметим, что о базе речи здесь вообще не идёт, а вертикальное подрасслоение может не иметь замкнутых листов. Это позволяет применить эту конструкцию, скажем, для случая, когда X есть якобиан кривой S, а вместо вертикального слоения к любому лево-инвариантному голоморфному слоению. При этом будут получаться якобианы других кривых рода два. Ту же штуку можно провернуть для любой кривой на абелевой поверхности, а поскольку деформациями, сохраняющими то или иное слоение, можно от любой простой абелевой поверхности добраться до любой другой, отсюда можно вывести аналог леммы о топологизации для пары дифференциалов.

Это рассуждение мне кажется очень опасным, потому что для эллиптических кривых итоговое утверждение очевидно неверно. Меня удовлетворяет тот ответ, что невозможно продеформировать голоморфную симплектическую форму на абелевой поверхности, сохраняя какое-то голоморфное слоение, трансверсальное эллиптической кривой, таким образом, чтобы ограничение формы на эту кривую оставалось точным. Но всё равно тревожно.