Настроение:	bored
Entry tags:	геометрия, геометрия/К3, геометрия/лагранжевы расслоения

Противоречие в математике
Объясню для приличия чуть более подробно предыдущий пост. Возьмём кривую C рода g, и отметим на ней 2N точек, а потом возьмём и двулистно накроем с ветвлением в этих точках. Получится кривая S рода g', давайте вычислим его по формуле Римана-Гурвица: 2-2g' = 2(2-2g-2N) + 2N, то есть 1-g' = 2-2g-N, то есть g' = 2g+N-1. Инволюция, возникающая на кривой S, действует на голоморфных 1-формах, причём собственное подпространство, на котором она действует с плюсом, это в точности формы, поднятые с C. Их пространство g-мерно, а стало быть размерность собственного подпространства с минусом равняется g'-g = g+N-1. Заметим, что инволюция сохраняет целочисленную структуру Ходжа, а следовательно и её собственные пространства приходят из целочисленных подструктур Ходжа. Целочисленная подструктура Ходжа в первых когомологиях это то же самое что фактор якобиана; то есть кривая S отображается в некое абелево многообразие A размерности g+N-1, причём формы, ограничивающиеся с него, суть собственные формы для инволюции с собственным числом -1, и можно выбрать вложение так, чтобы отображение x \mapsto -x на A сохраняло образ кривой и индуцировало на ней ту же самую инволюцию. Тем самым, фактор S по инволюции -- то есть исходная кривая C -- отображается в фактор A/\pm 1, и значит поднимается в его десингуляризацию, многообразие Куммера. Итого: всякая кривая рода g может быть вложена в куммерово многообразие размерности g-1 или выше.

Остановимся на случае куммеровой поверхности. У нас есть следующее данное: тор A, кривая рода g < 6 на нём, сохраняемая инволюцией x \mapsto -x, на которой она индуцирует инволюцию с 10-2g неподвижными точками. Малая деформация кривой, после подходящего сдвига, сохраняет это условие, ибо оно топологическое; стало быть, возникает семейство кривых -- и после факторизации они определяют (g-2)-параметрическое семейство кривых рода g-2 на поверхности Куммера. Для g = 2 это почти тавтология, для g = 3 это любопытное наблюдение, производящее неизотривиальные эллиптические расслоения на куммеровых К3 (оно присутствует ещё у Барта, но теряется в грудах формул). Остановимся на нём чуть подробнее.

10-2*3 = 4, так что у нашей инволюции на кривой 4 неподвижных точки. Неподвижные точки инволюции это точки 2-кручения поверхности, причём других точек пересечения у них нет. Так что когда мы их раздуваем соответствующие нодальные особенности фактора, получаются 4 рациональные кривые, пересекающиеся с каждой гладкой эллиптической кривой нашего пучка. Это его 4 рациональных сечения. Другие 12 точек 2-кручения на гладких представительницах пучка не лежат, но через них проходят нодальные вырождения, которые после раздутия превращаются в особые слои, устроенные как две рациональные кривые, пересекающиеся в двух точках. Сдвиги на элементы 2-кручения либо сохраняют расслоение (и переставляют его 4 рациональных сечения), либо переводят в одно из трёх других эллиптических расслоений -- у которых также будут 4 сечения, бывшие в других расслоениях компонентами исключительных слоёв. Ничего не предвещает беды.

Давайте теперь g = 4. Тогда 10-2g=2, то есть имеется двухпараметрическое семейство гладких кривых рода четыре, проходящих через две точки 2-кручения, и сохраняемых умножением на -1. При факторизации они превращаются в двухпараметрическое семейство кривых рода два, проходящих через две нодальные особенности. Заметим, что у кривой рода четыре на абелевой поверхности самопересечение 6, так что пересечение двух наших кривых S и S' состоит из шести точек, из которых две точки 2-кручения, а остальные четыре симметричны под действием умножения на -1. Значит у факторов C = S/\pm 1 и C' = S'/\pm 1 получается 2 + (6-2)/2 = 4 точки персечения, из которых первые две это особенности, и после их раздутия остаётся ровно две точки пересечения. Хочется сказать, что тем самым точки нашей поверхности разбиваются на пары, то есть на поверхности возникает инволюция, фактор по которой есть двойное накрытие P^2, на котором наше двухпараметрическое семейство кривых рода два это линейная система поднятия O(1).

Но всё это чрезвычайно подозрительно. Например, куда деваются две исключительные кривые, которые по одному разу пересекают каждую гладкую кривую нашего семейства? Из тех соображений, что две точки 2-кручения, попадающие на наши кривые рода четыре, суть нули дифференциалов, задающих деформации -- а следовательно нули дифференциалов, сохраняемых инволюцей -- а следовательно нули дифференциалов, приходящих с кривой рода два -- а следовательно прообразы точек, переходящих друг в друга при её родной гиперэллиптической инволюции -- кажется, что эти исключительные кривые должны переставляться инволюцией на куммеровой поверхности, и тем самым давать рациональную кривую на P^2. Поскольку всякая кривая рода два из линейной системы пересекала обе исключительные кривые по одной точке, значит и всякая прямая на P^2 будет пересекать эту рациональную кривую по одной точке, то есть сама будет являться прямой. Но тогда она не может лежать в общем положении: её прообраз будет иметь род два!! значит, это что-то вроде би- или даже трикасательной (у нас очень необщая поверхность, так что никто не может заболтать возможность наличия трикасательных мнимыми разглагольствованиями об общем положении).

Но есть тут и более глубокая трудность. А именно, с линейной системой кривых рода g на абелевой поверхности A можно связать голоморфно симплектическое многообразие размерности 2g-4, повесив над каждой точкой, соответствующей гладкой кривой с точностью до сдвига, ядро отображения её якобиана в A, а потом правильным образом замкнув. Это называется расслоением Дебарра, его тотальное пространство бирационально 2g-4-мерному обобщённому многообразию Куммера от A. Мы видели это явно для g=3. Но в случае рода g = 4 ядра такого отображения -- это якобианы соответствующих факторов по инволюции! То есть, если мы действительно можем так получить линейную систему рода два на куммеровой К3, то вне особого локуса многообразие Дебарра будет расслоением на такие же абелевы поверхности, что и расслоение Маркушевича (в большой науке принято говорить 'Бовиля-Мукаи', но в этом блоге устоялась альтернативная терминология) той линейной системы на куммеровой К3, а многообразие Маркушевича бирационально изоморфно двухточечной схемы Гильберта. Если бы эти два лагранжевых расслоения имели голоморно симплектоморфные тотальные пространства, то схема Гильберта была бы деформационно эквивалентна обобщённому многообразию Куммера, что невозможно из-за разных чисел Бетти. Не могут они быть связаны даже вырожденной твисторной деформацией: над аффинной базой это влечёт биголоморфность.

Решений этого противоречия два: либо действительно множеством гладких слоёв (как локусом в пространстве модулей абелевых многообразий) невозможно уловить даже число Бетти тотального пространства, либо конструкция, производящая из поляризации рода четыре на абелевой поверхности куммерову поверхность, реализующуюся как двойное накрытие плоскости, была порочна изначально. Впрочем это тоже было бы интересно понять.