Войти в систему

Home
    - Создать дневник
    - Написать в дневник
       - Подробный режим

LJ.Rossia.org
    - Новости сайта
    - Общие настройки
    - Sitemap
    - Оплата
    - ljr-fif

Редактировать...
    - Настройки
    - Список друзей
    - Дневник
    - Картинки
    - Пароль
    - Вид дневника

Сообщества

Настроить S2

Помощь
    - Забыли пароль?
    - FAQ
    - Тех. поддержка



Пишет Rodion Déev ([info]deevrod)
@ 2018-07-11 16:42:00


Previous Entry  Add to memories!  Tell a Friend!  Next Entry
Entry tags:геометрия, геометрия/векторное исчисление

Связность Гаусса-Манина
Геометрия отличается от топологии тем, что в ней достаточно когомологий де Рама, а теорему о том, что сингулярные когомологии с коэффициентами в поле им изоморфны, можно не использовать вообще (если принять какие-то наглядные факты как очевидную данность). Вообще, когда думаешь про когомологии с целочисленными коэффициентами, всегда есть вероятность, что забыл какой-нибудь \Ext или \Tor или какой-нибудь ещё гомологический трихобезоар, не имеющий никакого геометрического смысла. В общем, одна нервотрёпка. Это, кстати, не касается физики, где целочисленная структура на когомологиях существенна, например, для дираковского доказательства того, что магнитный заряд, буде он в действительности, пропорционален некому элементарному количеству магнитного заряду (то есть факта о том, что классы Черна линейных расслоений целочисленны). Неудивительно, физика вообще сложнее геометрии, потому что не имеет без неё смысла (как впрочем и топология).

Есть, однако, чисто геометрическое место, в котором целочисленная структура на когомологиях де Рама выскакивает как чёртик из табакерки, -- это связность Гаусса-Манина. Я всегда от этого страдал, но, кажется, придумал, как описывать связность Гаусса-Манина в терминах дифференциальных форм.

Рассмотрим гладкое расслоение X \to B, и пусть имеется сечение расслоения k-тых когомологий. Его можно представить как дифференциальную k-форму на тотальном пространстве, определённую только вдоль слоёв, замкнутую в ограничении на каждый слой. Чтобы получить по ней честную k-форму на тотальном пространстве, выберем какую-нибудь связность Эресманна, и положим, что \iota_{v}\alpha = \iota_{p(v)}\alpha, где p -- проекция векторов на X на вертикальные вектора вдоль ядра связности Эресманна. Положим тогда \nabla_x [\alpha] = [\Lie_{\widetilde x } \alpha], где x -- векторное поле на базе, а \widetilde x -- его горизонтальное относительно выбранной связности Эресманна поднятие.

Корректность такого определения неочевидна: конечно, прибавление к форме \alpha чего-то точного результирует в прибавлении к производной Ли точной формы, но неочевидно, почему произвольная форма, точная на каждом слое и нулевая на горизонтальных векторах, будет сама точна. Это можно проверить, но мне лень и не хочется. Зато очевидно, что при таком определении получится на самом деле связность: проверка тождества Лейбница ничего не стоит, а по полю это образование линейно, потому что по формуле Картана [\Lie_{fX} \alpha] = [d\iota_{fX}\alpha + \iota_{fX}d\alpha] = f[\iota_X d\alpha] = f[\Lie_X \alpha].

Независимость этой связности от выбора связности Эресманна тоже составляет какое-то вычисление, грубо говоря, сводящееся к тому, что поток вертикального векторного поля сохраняет классы когомологий, так что замена связности Эресманна выльется некий диффеоморфизм, изотопный тождественному. Но можно сразу сказать, что это буквально связность Гаусса-Манина и будет: в самом деле, это достаточно проверить на классах когомологий, интегрирующихся по какому-то циклу единицей, а по другим циклам из базиса в целочисленных гомологиях нулём; сдвигая этот цикл при помощи связности Эресманна в соседние слои и ограничивая форму на то, что им заметается, можно считать, что наша форма, про которую мы доказываем -- форма старшей степени на каждом слою. Ну тогда нам нужно доказать, что если по каждому слою она интегрируется единицей, то её производная вдоль базового поля точна. Это следует из того, что базовое поле отождествляет слои своим потоком диффеоморфизмов, а если есть варьирующаяся форма объёма на многообразии, которой полная масса всегда одна и та же, то её производная имеет нулевую полную массу, и, следовательно, она точна (во всяком случае, если многообразие связно).

В общем, проверок тут довольно много, и не все из них разумны, но проверка изоморфизма между когомологиями де Рама и сингулярными когомологиями ещё более технична и муторна, и разводить целую науку топологию только для существования связности Гаусса-Манина кажется мне чрезмерным.



(Добавить комментарий)


[info]kaledin
2018-07-11 15:11 (ссылка)
>это связность Гаусса-Манина

???

Вот единственное место во всей науке, где целочисленные когомологии вообще не нужны, это как раз связность Гаусса-Манина. Глобальный комплекс де Рама есть ДГ-модуль над комплексов де Рама базы, end of story.

Неудивительно, в принципе, потому что это история вообще не про когомологии (как, собственно и комплекс де Рама).

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


[info]deevrod
2018-07-11 15:23 (ссылка)
Целочисленные классы образуют локальную систему, её сечения составляют
базис плоских сечений относительно связности Гаусса-Манина.

Морально ты написал то же самое, что и я, и это действительно удобнее
(мне нужно было проделать некоторое вычисление, которое с определением
через целочисленную структуру, кажется, не делается вообще).

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-07-11 19:07 (ссылка)
>с определением через целочисленную структуру

Откудо оно взялось вообще? извращение какое-то нереальное.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-07-11 19:33 (ссылка)
ну, целые же вектора образуют базис, так его проще
визуализировать

(Ответить) (Уровень выше)


[info]grigori
2018-07-11 19:55 (ссылка)
ну это почти буквально высшие прямые образы постоянного пучка, чего сразу извращение-то

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-07-11 20:05 (ссылка)
Ну причем здесь пучки вообще?

Элементарный же факт, такой же примерно степени элементарности, как формула гомотопии Картана. Нахрена тут топология?

То, что когомологии де Рама вычисляют когомологии подлежащего топологического пространства, это вообще случайность.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]grigori
2018-07-11 20:14 (ссылка)
ну локальная система существует вне контекста многообразий, пучки при этом.
про случайность сильное утверждение! это ведь тот же самый факт про римана-гильберта и прямые образы

(Ответить) (Уровень выше)


[info]grigori
2018-07-11 19:58 (ссылка)
это не "морально то же самое", одно описание это соответствие римана-гильберта от другого, и вообще говоря непонятно, почему это два описания одного и того же. это что-то типа утверждения о том, что риман-гильберт коммутирует с прямым образом, что ли

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-07-11 20:07 (ссылка)
Он имел в виду, "то же самое как вычисление со свяностью Эресмана". Да, конечно то же самое. А что Риман-Гильберт вообще бывает, да еще и коммутирует с прямым образом, это наоборот сильно научный факт.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]grigori
2018-07-11 20:12 (ссылка)
а, тогда да

(Ответить) (Уровень выше)


(Анонимно)
2018-07-11 16:46 (ссылка)
а причём Гаусс, а не Остроградский например?

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


[info]deevrod
2018-07-11 18:20 (ссылка)
Была бы связность двух украинцев, как-то неудобно.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2018-07-11 19:04 (ссылка)
ну да надо лизнуть, а то забанят.

(Ответить) (Уровень выше)


(Анонимно)
2018-07-11 19:05 (ссылка)
каких украинцев? ты о чём?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]deevrod
2018-07-14 19:48 (ссылка)
Остроградского и Манина

(Ответить) (Уровень выше)