Настроение:	sleepy
Музыка:	хадн дадн -- Курица
Entry tags:	геометрия, геометрия/исключительные голономии

Конформная эквивалентность слоёв коассоциативных расслоений
Пусть R^7 = U + V -- разложение стандартного евклидова пространства с действием группы G_2 в коассоциативное и ассоциативное подпространство. Если u, v, w -- ортонормальный базис V, то соответствующая 3-форма \rho запишется как du \wedge dv \wedge dw + ..., где отточие заменяет члены из V^* \otimes \Lambda^2 U^*, описывающие, как ассоциативное подпространство действует на коассоциативном тремя комплексными структурами.

Теперь давайте \rho_a = e^a du \wedge dv \wedge dw + ..., где отточие обозначает те же самые члены, а a -- вещественная константа. Как запишется скалярное произведение, сохраняемое стабилизатором такой формы? ясно, что надо как-то растянуть координаты по U, допустим в e^b раз. Тогда стандартная 3-форма для таких координат запишется как du \wedge dv \wedge dw + e^{2b}.... Приравнивая эти две формы с точностью до скалярного множителя, имеем b = -a/2. Итак, при растягивании 3-формы по ассоциативному направлению связанная с ней скалярное произведение будет конформно растягиваться по коассоциативному направлению.

Пусть X \to B -- пучок Лефшеца-Ковалёва на G_2-многообразии (X, \rho). Рассмотрим в нём связность Эресманна, определённую G_2-метрикой на тотальном пространстве. Как написано у Маклина, если Y -- коассоциативное подмногообразие, и v -- нормальное векторное поле, определяющее его деформацию, то производная ограничения 3-формы при такой деформации даётся выражением (d\iota_v\rho)|_Y. В частности, если v -- поле, поднятное с базы пучка Лефшеца-Ковалёва, то 3-форма d\iota_v\rho при ограничении на слой будет нулевой (потому что деформация вдоль такого поля есть соседний слой, который также коассоциативен). Значит, у производной L_v\rho = d\iota_v\rho имеется только когоризонтальная компонента, то есть в каждой точке слоя эта производная пропорциональна поднятию формы объёма с базы (с коэффициентом, зависящим от точки). Это значит, что, поток поднятого с базы векторного поля растягивает форму \rho по ассоциативному направлению, а стало быть на метрике он действует, растягивая её по коассоциативному направлению (с коэффициентом, зависящим от точки). Итак, описанная связность Эресманна действует конформными изоморфизмами слоёв. В частности, если база связна, то все слои пучка Лефшеца-Ковалёва конформно эквивалентны.

У общей метрики на четырёхмерном многообразии конформных автоморфизмов не так много; если сказанное верно, то оно должно давать сильные ограничения как на голономию этой связности Эресманна, так и на возможные метрики на коассоциативной K3-поверхности в G_2-многообразии. Кроме того, это должно существенно упростить вычисления в доказательстве главной моей гипотезы -- о том, что слои отображения периодов для пучка Лефшеца-Ковалёва суть в точности орбиты геодезического потока связности Лиувилля-Арнольда.