Настроение:	calm
Музыка:	bondage fairies -- morphine
Entry tags:	геометрия, геометрия/задача Каповича

Как можно было бы доказать предсказание Богомолова
Богомолов настаивал на том, что отображение Каповича-Шоттки Gr(2, H^{1,0}) \to Gris(2, H^1) (где Gris -- изотропный грассманиан, а левая сторона подразумевается расслоением грассманианов над пространством Тейхмюллера, см. предыдущие посты по понятно какому тегу) открыто, даже несмотря на то, что его дифференциал не всюду полного ранга (а если заменить 2 на 3, то не настаивал). Мне это казалось сомнительным, но дальнейшее продвижение по обобщению теоремы Каповича без этого невозможно. Но кажется, есть способ доказать это.

Именно, рассмотрим слои этого отображения. Они имеют размерность g-2. Такова же, по совпадению, коразмерность гиперэллиптического локуса. Если удастся доказать, что они всегда трансверсальны, мы будем иметь доказательство того, что если на гиперэллиптической кривой есть два класса, то любая непостоянная деформация, в которой они сохраняются, уже не будет гиперэллиптической. Поскольку зацепленные классы (в которых дифференциал отображения Каповича-Шоттки имеет неполный ранг) для рода три сосредоточены над гиперэллиптическим локусом, это даст доказательство предсказания Богомолова для кривых рода три (для кривых рода два оно получается автоматически, поскольку никакие два различных канонических дивизора на кривой рода два не зацеплены).

Гиперэллиптический локус легко описать в терминах дивизора ветвления: нам нужно 2g+2 точки, из них мы загоняем первые две в 0 и 1, последнюю в \infty, ну вот и готов локус коразмерности g-2 (автоморфизмы нас не волнуют, ибо мы всё равно собираемся описывать касательное пространство, а потоков автоморфизмов быть не может в силу оценки Гурвица). Но я не знаю, как восстановить касательное подпространство к этому локусу в касательном пространстве к пространству Тейхмюллера H^0(K^2)^* по этим 2g-1 точке (иначе говоря, факторпространство пространства голоморфных квадратичных дифференциалов). Наверное, это коядро какого-то хорошо известного дифференциального оператора.

Для g > 3 это соображение ещё не доказывает предсказания Богомолова: так, на всякой кривой рода четыре имеется пара зацепленных дифференциалов. Однако, кажется, движение вдоль слоёв отображения Каповича-Шоттки всегда позволяет уменьшить число общих нулей у форм, представляющих классы, принадлежность коих к типу (1,0) сохраняется -- и тем самым всякая пара классов, хотя бы и зацепленных, после некоторой деформации перестаёт быть таковой, а в окрестности незацепленной пары мы уже знаем, что отображение Каповича-Шоттки открыто. Поэтому эту деформацию следует называть узорешительной. Надеюсь, я успею доказать эти гипотетические её свойства ко дню памяти святой мученицы Анастасии Узорешительницы.