Войти в систему

Home
    - Создать дневник
    - Написать в дневник
       - Подробный режим

LJ.Rossia.org
    - Новости сайта
    - Общие настройки
    - Sitemap
    - Оплата
    - ljr-fif

Редактировать...
    - Настройки
    - Список друзей
    - Дневник
    - Картинки
    - Пароль
    - Вид дневника

Сообщества

Настроить S2

Помощь
    - Забыли пароль?
    - FAQ
    - Тех. поддержка



Пишет Rodion Déev ([info]deevrod)
@ 2020-04-16 21:11:00


Previous Entry  Add to memories!  Tell a Friend!  Next Entry
Настроение: sick
Entry tags:геометрия, геометрия/однородные пространства, лытдыбр

Бирациональные соответствия между твисторами четырёхмерных многообразий
Профессор Ривин, герой незабвенного 2016-го года, проснулся от спячки и немедля наретвитил в свой закрытый твиттер каких-то bluecheck-ов в жанрах 'РРРРЯЯЯЯЯ подумайте ж вы об икономике...' и 'позднесоветская критика, обвиняющая миниатюры Жванецкого в русофобии и неуважении к людям труда' -- только вместо людей труда там были пациенты мичиганского ралли против самоизоляции, а вместо Жванецкого -- другие твиттерские bluecheck-и, замечающие, что эти пациенты имеют цель свести лично вас в могилу. Ну в принципе весь героизм 2016-го года был примерно такой, чего греха таить.

А я пытался думать вот о чём. Самый простой способ увидеть, что ортогональные комплексные структуры на V = R^4 параметризуются CP^1, безо всяких кватернионов, таков: оператор комплексной структуры определяется своим (1,0)-подпросстранством V^{1,0} \subset V \o C. Оператор ортогонален тогда и только тогда, когда это подпространство изотропно относительно комплексно-линейного продолжения скалярного произведения на комплексификацию; стало быть, в проективизации оно представляет прямую, лежащую на гладкой квадрике. Они параметризуются двумя CP^1-ами, соответствующими двум ориентациям. Таким образом, твисторное расслоение S^4, которое может быть описано как многообразие пар (гиперплоскость в R^5, комплексная структура на ней), есть многообразие прямых, лежащий на гладкой квадрике в CP^4: такая пара определяет изотропную плоскость в комплексификации, и плоскость вкупе со своей комплексной сопряжённой порождают гиперплоскость, на вещественных точках которой возникает естественная ориентация.

Тут я пытался понять, почему прямые на квадрике в CP^4 параметризуются CP^3 -- это уже чисто алгебраико-геометрический факт, верный даже над полем из одного элемента. По уму, конечно, надо построить какой-то квадратичный оператор типа вложения Плюккера, но чуть более хитрый; вместо этого я стал явно выписывать стереографическую проекцию, и конечно не преуспел. Ведь как устроено бирациональное соответствие между двумерной квадрикой и CP^2? Это стереографическая проекция: она сперва раздувает центр проекции, а потом сдувает прямые, проходящие через него. Куда при этом переходят два семейства образующих? Все прямые одного семейства, как известно, пересекают любую прямую другого, так что после сдутия они перейдут в две грозди прямых, проходящих через точки CP^2, в которые сдулись сдуваемые прямые (это, между прочим, называется биполярными координатами). При стереографической же проекции трёхмерной квадрики на ней раздувается точка, а сдувается ворох образующих конуса, который квадрика высекает на своём касательном пространстве. Получается коника в CP^3. А куда переходят прямые, лежащие на квадрике? Всякая прямая пересекает касательное пространство к гиперповерхности; если прямая лежала на квардике, то она и пересекает его по точке, лежащей на квадрике, то есть как раз на сдуваемом конусе. То есть прямые на квадрике проецируются в секущие коники -- но не во всякие, а лишь те, что не являются хордами, и не все, а лишь те, которые те проходят через центр проекции; в общем, такое мутное рассуждение можно доконать, но оно только запутает то, что должно быть просто. В рассуждении об этом я, снедаем двоякой жалостью и двояким же презрением к себе, а к тому же и просто голодом (который и был одной из причин этого презрения), уже ничего не мог сделать. Ну в самом деле, сколько можно жрать? Тем более если ты такой тупой, даже элементарных вещей сообразить не можешь. А с другой стороны жалко, что теперь всё лето придётся сидеть в бессмысленном городе, и жалко, что не получается заниматься даже такой идиотской математикой, притом что хочется-то заниматься интересной -- чтобы там были алгебраические числа, алгебраические кривые, спектральные кривые, эллиптические кривые, эллиптические операторы, операторы Дирака, операторные алгебры, алгебра Вейля, алгебра Вейля, алгебры Ли, математическая физика, димерная модель, случайные блуждания, аменабельные группы, фундаментальные группы -- только не группы Галуа! но куда там, до групп Галуа ещё не всякому позволено.

Впрочем, алгебры Ли тут как раз по делу. Я писал как-то, сидя в кафе в Бухаресте, про то, как при помощи теории Ли доказывать следующий фольклорный факт: круглая трёхмерная сфера с U(2)-инвариантной КР-структурой, проколотая в одной точке, конформно эквивалентна трёхмерной группе Гейзенберга с лево-инвариантной КР-структурой. У него, по всей видимости, есть голоморфный аналог. Tвисторы CP^2 с метрикой Фубини-Штуди -- это некоторое расслоение на пространстве флагов Fl = U(3)/U(1) x U(1) x U(1). Пространство флагов, конечно, рационально; но в данном случае верно большее: этот бирациональный изоморфизм можно выбрать таким образом, чтобы он переводил горизонтальное распределение (перпендикулярное твисторному расслоению) в горизонтальное распределение. Тем самым, в частности, плоские кривые с крестовыми особенностями в CP^2 (поднимающиеся в пространство твисторов как гладкие горизонтальные кривые в силу тривиальных причин) отображаются в горизонтальные кривые в CP^3 и тем самым суперминимальные поверхности в S^4. Это доказывает знаменитую теорему Брайанта о том, что любая кривая может быть реализована минимальной поверхностью в S^4 (и показывает, что она на самом деле гораздо интереснее). Это рассуждение принадлежит Лоўсону; но в качестве бирационального соответствия между твисторами он выписывает какие-то невнятные формулы, которые должны очевидно возникать из теории представлений нильрадикалов каких-то нехитрых алгебр. Это пытался сделать Фрэн Буршталь из Баѳского университета, но что-то застрял (PDF, 108,3 кБ), если только оно не вышло под другим названием. Может, надо доделать.



(Добавить комментарий)


(Анонимно)
2020-04-17 08:49 (ссылка)
испытали ручной оргазм "сидя в кафе в Бухаресте" ?

(Ответить)