(no subject)
« previous entry | next entry »
Jun. 28th, 2012 | 03:55 pm
Вчера на ночь глядя читал манускрипт, где где-то страницы две ведётся ожесточённая борьба за построение инъективного рационального отображения из кривой рода >=2 в проективную прямую. Хотя может быть я чего-то не понял, и это не рациональное отображение строится. Или ещё чего-то не понял. Засыпал вот только плохо, факт.
Comments {39}
From:Date: Jul. 6th, 2012 - 11:18 pm
Link
я думаю, что причина недоразумения в несовпадении определения понятия "гладкий" для вещественной и комплексной кривой. ну то есть может оказаться, что точка в вещественном смысле гладкая, а так --- нет.
Reply | Parent | Thread
From:Date: Jul. 7th, 2012 - 12:48 am
Link
> на этой окресности с точностью до пропорциональности.
Да, но вопрос был в другом: как задать этот морфизм глобально?
Поскольку любой морфизм из C в P^n задается обратимым пучком
L на C и n+1 сечениями этого пучка, вопрос: что это за пучек?
Я в первом варианте ответа замел этот вопрос под ковер и сделал
неверное утверждение: пучек тот же самый, что и исходный.
Оказвается, что даже если рациональный морфизм C -> P^n
задавался сечениями тензорной степени некоторого пучка L, то
его распространение на всю кривую C будет задаваться сечениями
пучка, который тензорной степенью L быть уже не обязан! Всегда
нужно вычитать дивизор D, который задает base locus линейной
системы (детали проверил, без пяти сигм).
Если бы при распространении рац. морфизма пучек всегда сохранялся,
то у нас было бы противоречие результату Гильберта-
Шейдерера, которые построили такую проективную кривую C и пучек L
на ней (плоская кривая шестой степени и O(4)), что любые сечения пучка
L, задающие рациональный морфизм из C в квадрику x^2 + y^2 + z^2,
будут иметь общий нуль.
> я думаю, что причина недоразумения в несовпадении определения
> понятия "гладкий" для вещественной и комплексной кривой. ну то есть
> может оказаться, что точка в вещественном смысле гладкая, а так --- нет.
Вот это не смог понять: что значит ``точка, гладкая в вещественном
смысле''? Гладкость в контексте схем определяется для произвольных
морфизмов, а не только морфизмов в алг. замкнутые поля; гладкость
сохраняется при base change; гладкость схемы конечного типа над
полем влечет ее регулярность в каждой точке.
Reply | Parent | Thread
From:Date: Jul. 7th, 2012 - 01:37 am
Link
покроем C открытыми множествами так, чтобы только одно из них содержало точку, где морфизм не определён, рассмотрим окрестность этой точки, продлим. на других элементах покрытия морфизм останется таким же, поэтому можно работать с ограничением на окрестность "точки неопределённости".
Reply | Parent | Thread
From:Date: Jul. 7th, 2012 - 02:36 am
Link
Внимание
В нашем с ним диалоге было две проблемы:
1.
обязательно задаваться тремя кубиками, квадраты которых суммируются в 0. Это неверно: такой морфизм, вообще говоря, может задаваться произвольным обратимым пучком, а не только O(n)'ами, происходящими из канонического вложения секстики в P^2.
2. Я ошибочно считал, что процедура распространения морфизма не поменяет пучек, который этот морфизм задает. Оказалось --- нифига, и секстика
Reply | Parent | Thread
From:Date: Jul. 7th, 2012 - 02:54 am
Link
тьфу, я баран: не в нуль, а в исходную секстику.
Reply | Parent
From:Date: Jul. 7th, 2012 - 03:38 am
Link
Reply | Parent
From:Date: Jul. 7th, 2012 - 01:46 am
Link
cf. http://mathoverflow.net/questions/9
Reply | Parent | Thread
From:Date: Jul. 7th, 2012 - 02:48 am
Link
(Кстати, извиняюсь за то, что нафлудил километр: в обсуждаемой задаче есть арифметические аспекты; они меня, как будущего арифм. геометра, взяли за живое).
Reply | Parent