Про меру я уже написал на MathOverflow.


Современные теория операторных алгебр является
простейшим подходом к некоммутативной геометрии,
в частности, к некоммутативной топологии (C*-алгебры),
некоммутативной теории меры (алгебры фон Нойманна),
и особенно к некоммутативной дифференциальной геометрии
(спектральные тройки).
По-другому это пока и излагать не умеют.

Вообще приложений куча.
Например, некоммутативная геометрия
может нормально изучать факторпространства, которые
обычным способом изучить нельзя (например, тор,
профакторизованный по кривой с иррациональным наклоном).
А ещё есть приложения к ренормализации и стандартной модели в физике,
теории чисел и мотивам, и многие другие.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Вы считаете, что некоммутативные факторы реально полезны?:)

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Полезны для чего?
Они активно используются в физике,
в частности в квантовой теории поля.

Встречный вопрос: А мотивы — реально полезны?
Кстати, Connes некоммутативную геометрию и к мотивам активно применяет.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Про теорию поля не особо в курсе (хотя слышал, что ветер дует оттуда:)), спасибо. Вопрос в том - можно ли считать такие факторы полноценным расширением обычной алгебраической геометрии?:)

Мотивы якобы бывают интересны даже физикам.:) А так - они в последнее время стали языком, на котором имеет смысл говорить. Можно реально понимать какие-то новые вещи про разные когомологические теории.

(Reply to this) (Parent)

Малость слажал: скорее, некоммутативные факторы надо сравнивать с комплексной униформизацией абелевых многообразий.:)

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Честно признаюсь, не могу понять, при чём здесь абелевы многообразия.
Нельзя ли поподробнее.
Фактор — это алгебра фон Нойманна с тривиальным центром,
в каком-то смысле это максимально некоммутативное
измеримое пространство.
Найти геометрические образы для фактора совсем не просто,
Конн в своей книге даёт примеры для слоений.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Ну как, при чем - комплексный тор часто бывает абелевым многообразием.:)

(Reply to this) (Parent) (Thread)

А, понял, имеется ввиду фактор абелева многообразия по хитрому слоению.

(Reply to this) (Parent)