для c^n=a^n+b^n
имеем a+b > c, то есть можем соспоставить треугольник на плоскости
из теоремы косинусов
пусть у нас есть тройка кандидат, тогда
c = корень ( a^2 + b^2 - 2ab*cos )

значит вопрос весь в косинусе
если покажем, что он иррационален, значит наша тройка - не может быть рациональной

косинус (и синус тоже) будет рационален только в случае пифагоровой тройки
(квадратный корень)

вот так и получается, что тройка-кандидат не может быть рациональной

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>косинус (и синус тоже) будет рационален только в случае пифагоровой тройки
(квадратный корень)

Конечно нет. Косинус рационален
для бесконечного количества углов,
например cos(π/3)=1/2.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

большое спасибо

(Reply to this) (Parent)

a=138907099 b=80198051 c=160396102

a / sqrt(a^2 + b^2) = 1/2

(Reply to this) (Parent)

перепутал а с б
a=138907099 b=80198051 c=160396102

b / sqrt(a^2 + b^2) = b / c = 1/2

(Reply to this) (Parent)

да, все даже еще проще
все верно
для любых двух взаимно простых m и n, можно найти пифагорову тройку

то есть, для любого рационального косинуса(синуса) есть пифагорова тройка

(Reply to this) (Parent)

извините, последнее сообщение из этой длинной серии
из википедии

Geometrically, the point in the Cartesian plane with coordinates

x=\frac{a}{c},\quad y=\frac{b}{c}

is on the unit circle x2 + y2 = 1. In this equation, the coordinates x and y are given by rational numbers. Conversely, any point on the unit circle whose coordinates x, y are rational numbers gives rise to a primitive Pythagorean triple.

(Reply to this) (Parent)

боже мой
везде написано sin(pi/3) = корень(3)/2
а он ведь рационален 138907099/160396102

извините, постараюсь не писать больше

(Reply to this) (Parent)

прошу прощения, но это я должен написать
как я нашел тройку на ваш вопрос

да, удивительно, из геометрии следует что синус будет корень(3)/2 для пи/3
но когда я искал для вашего пример, я шел таким путем:

cos(pi/3)=1/2, 4a^2 = a^2 + b^2, a = корень ( b^2 / 3 )

так вот, я не стал проводить очевидное упрощение (брать корень), а стал искать числа. только благодаря этому нашел пример.

любой рациональный косинус автоматом означает рациональный синус

(Reply to this) (Parent)

:) эксель подвел с точностью

мои очень большие извенения

(Reply to this) (Parent)

вы кстати абсолютно правы
вот что мне написал один математик

Нет. Например, пусть a = 3, b = 6, c = 7. Это не тройка Пифагора, но cos(angle) = (49 - 36 - 9)/(36) = 4/36 = 1/9. Вообще, если a, b, c рациональные числа, т.ч. есть треугольника со сторонами длин a, b, c, то cos(angle) = (c^2 - a^2 - b^2)/(2ab) рациональное число. Это не зависит от теоремы Пифагора.


можно будет и подтереть все мои комменты, или скрыть
как-то стыдно немного)

(Reply to this) (Parent)