В принципе, есть три разных понятия — счёт, упорядочение и нумерация.

Счёт — наиболее первичное понятие. Результатом
счёта является натуральное число — 0, 1, 2, …
Интуитивно, натуральное число есть класс эквивалентности конечных множеств относительно равномощности. То есть 5 овец, 5 яблок и 5 ещё чего-нибудь есть равномощные конечные совокупности, следовательно, они соответствуют одному и тому же натуральному числу.
При этом при счёте ничего не надо выстраивать в ряд, упорядочивание не требуется.

Есть понятие упорядочивания — это когда мы вводим на множестве линейный порядок.
Здесь необходимо объяснить, что любое конечное
множество можно упорядочить. Интуитивно это соответствует расположению яблок в ряд.

После этого можно объяснить, что натуральные числа естественным образом упорядочены. При этом слева от числа n будет стоять ровно n чисел (это тоже надо пояснить).

Теперь можно сказать, что мощность начального отрезка, состоящего из чисел, меньших n, есть в точности n.

Наконец, есть понятие нумерации — биективное сопоставление нашей совокупности и начального отрезка натурального ряда.

Наглядный смысл здесь таков, что на каждом яблоке пишется количество яблок, стоящих слева от него.

Далее, есть следующее, теперь уже очевидное утверждение: если
мы установили биективное соответствие между
натуральными числами, меньшими n и нашей
совокупностью (то есть задали нумерацию), то количество элементов в нашей
совокупности есть n.

Далее, что касается аргументации с расположением яблок. Действительно, в таком виде здесь используется нумерация.
Но можно определить сложение проще, как мощность дизъюнктного объединения.
Наглядно это выглядит так. У нас есть
два мешка яблок, и мы пересыпаем все яблоки
из обоих мешков в новый мешок.
Новый мешок обладает следующим свойством:
каждое яблоко в нём изначально находилось ровно в одном из двух мешков, при этом у нас есть биективное соответствие — каждое яблоко из нового мешка находится в паре ровно с одним из яблок ровно одного из двух старых мешков,
при этом каждое яблоко из обоих старых мешков присутствует ровно в одной паре.
Теперь ясно, что если у нас другой мешок, изготовленый таким же способом, то между ними легко устанавливается биективное соответстие — их яблоки спариваются. Действительно, возьмём яблоко из первого нового мешка, перейдём к соответствующему ему яблоку старого мешка и перейдём от него к соответствующему ему яблоку второго нового мешка. (Только надо это как-то попроще записать.) Вот и получили разбиение на пары.
Теперь ясно, что от перестановки мешков ничего не меняется.
Также обосновывается ассоциативность сложения.
Как легко видеть, здесь не требуется нумерация или упорядочивание.

У меня теперь возникли трудности более фундаментального характера:
как интуитивно объяснить, что такое конечная совокупность?
Единственное, что я могу придумать — сказать что-то вроде «Совокупность называется конечной, если извлекая из неё по одному предмету в секунду мы за конечное время извлечём все предметы.».

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Определение натуральных чисел, как мощностей, было испробовано в преподавании в период New Math, если не ошибаюсь. Выходило скверно (©). Детальную критику этого подхода можно найти у Фрейденталя.

Вы, впрочем, тоже признаете, что первичное понятия числа - это понятие ординального числа, возникающего в результате счета. А для доказательства коммутативности предлагаете пользоваться кардинальными числами. Тогда вам нужно будет объяснить эквивалентность этих понятий. Поскольку они, вообще говоря, не эквивалентны, вам нужно выделить ту область, в которой они эквивалентны - область конечных чисел. И тут появляется еще одна трудность, на которою вы указали. Вы предлагаете справиться с ей, используя понятие непрерывного времени, его дискретизации секундами, и снова понятием конечности. Это не выглядит удовлетворительным. В частности, почему вы налагаете ограничение про секунду? Что такое секунда? А не могут ли они ускоряться?

Мы с вами можем объяснить друг другу, почему это все так, как мы думаем. Но остаются две-три проблемы. Нам так в школе не объясняли. Может, нам просто внушили коммутативность сложения, и мы подгоняем наши аргументы под эту веру. На самом деле любое, даже синтакстическое рассуждение явно или неявно использует понятие натурального числа. Так что есть риск порочного круга. Наконец, как объяснить все это детям.

(Reply to this) (Parent)

Kстати, вот книга кажется почти о том, о чем Вы говорите сейчас---обучении арифметикe.
сборник статей, кажется доступен через гугель:

The Development of Arithmetic Concepts and Skills: Constructive Adaptive Expertise
Von Arthur J. Baroody, Ann Dowker

сам сборник:
http://books.google.de/books?id=2tqdBwZr8wsC&pg=PP1&ots=xfI9Hjfdec&dq=dowker+the+development+of+arithmetical+concepts+and+skills&sig=sGY9LpMXYZ2KhE5SQdnJBzQKJyg#PPP1,M1

(Reply to this) (Parent)