|
Dmitri Pavlov
[Recent Entries][Archive][Friends][User Info]
Below are the 4 most recent journal entries recorded in the "Dmitri Pavlov" journal:
|
02:00 am
[Link] |
Реальная стоимость моего институтского образования отрицательна
Хочу обратить внимание читателей на интересное обсуждение одного из институтов (теперь — «университета») Санкт-Петербурга.
Я три года назад окончил этот институт и знаю, что дискуссия описывает реальную ситуацию.
Смотрите мои комментарии про местного «гуру» программирования и про то, что за образование надо платить, если уехал.
Однако всё познаётся в сравнении.
Например, остальные «программистские» кафедры ЛИТМО
просто нашпигованы профессорами Эль-Наши местного значения.
Если бы в 2002 году я обладал той же информацией, что обладаю сейчас,
то постарался бы получить стипендию и поступить в американский университет,
где брал бы аспирантские курсы по математике.
А если бы не получилось, то пошёл бы в тоже самое место — просто потому,
что остальные (например, матмех ЛГУ) ещё хуже,
ибо требуют тратить впустую ещё больше времени, чем обсуждаемое место в ЛИТМО.
Надо сказать, что на четвёртом и пятом курсе в ЛИТМО я, пользуясь помощью
В. Парфёнова и И. Попова, сделал себе индивидуальный план (если кто не знал,
в российских вузах это возможно, хотя и не афишируется),
благодаря чему удалось выкинуть почти весь мусор из программы и заменить
его на курсы Физматклуба.
В ретроспективе, конечно, я бы сделал индивидуальный план начиная с первого курса
— хотя тогда ещё и не было Физматклуба и заменять бы пришлось на что-нибудь другое.
Обновление: Теперь там же можно прочитать ещё более отрезвляющий комментарий от нынешнего студента.
Обновление: А вот ещё независимый взгляд на гуру «автоматного программирования».
Tags: квазинаука, преподавание
|
|
11:26 pm
[Link] |
Страх перед нулём и единицей.
Наша жизнь полна предрассудков и необоснованных страхов.
Однако не все знают, что предрассудки и страхи
во множестве присутствуют в математике.
Сегодня я расскажу всего лишь про один такой
предрассудок — страх перед нулём и единицей.
Древнегреческие математики не считали единицу числом,
а понятия нуля у них вовсе не существовало.
По этой причине утверждения о целых числах содержали в себе
несколько аналогичных формулировок для случаев,
когда рассматриваемые числа равны или не равны единице,
что можно видеть у Эвклида, когда он излагает свой алгоритм нахождения
наибольшего общего делителя («Начала», книга 7, предложения 1 и 2) — он вынужден
формулировать два предложения вместо одного (предложение 1 излагает случай,
когда наибольший общий делитель равен 1, а предложение 2 — когда не равен).
За прошедшие две тысячи лет люди освоили понятия нуля и единицы,
но страх перед ними остался.
Далее я привожу список разнообразных верных утверждений,
вызывающих отторжение под влиянием этого страха.
У пустого множества есть ровно один эндоморфизм — пустая функция.
Вообще, из пустого множество в произвольное есть ровно одна функция — функция
с пустой областью определения.
(А из произвольного непустого множества в пустое функций нет.)
Натуральные числа — это те, которые используются при счёте.
Это определение я услышал в пятом классе.
Счёт — это вычисление мощностей конечных множеств.
Пустое множество конечное, стало быть число 0 — натуральное.
По-другому думают только ретрограды и мракобесы.
Классическое проявление страха перед нулём — нумерация всего и вся с единицы,
хотя зачастую более естественно нумерация последовательными натуральными
числами, начиная с минимального — нуля, а часто наиболее естественным вариантом
является отказ от нумерации.
Некоторые сумасшедшие продолжают утверждать, будто 0^0 не определено.
Особенно популярно это мнение в среде жёстких аналитиков.
(И вообще, жёсткий анализ (в противоположность мягкому) — это один
из основных источников мракобесия в математике,
как отметил один из моих знакомых.)
Обосновывают они его следующим аргументом:
функция (x,y) → x^y не является непрерывной в точке (0,0).
Однако запись многочленов и рядов в форме ∑_k a_k x^k
возможна только и исключительно при условии, что 0^0 = 1.
Формула бинома (x+y)^n = ∑_k {n\choose k} x^k y^{n-k}
верна для всех n≥0 и произвольных x и y
также только при условии, что 0^0 = 1
(иначе надо потребовать, что x≠0, y≠0 и если n=0, то x+y≠0).
Количество отображений из n-элементного множества
в m-элементное равно m^n — смотри замечание
выше про эндоморфизмы пустого множества.
Отсюда тоже получаем, что 0^0 = 1.
Список можно продолжать до бесконечности.
Сумма пустого множества чисел есть 0.
Произведение пустого множества чисел есть 1.
Упражнение: вычислите значение башни степеней
x^{y^{z^…}} для пустого семейства чисел.
Нулевое векторное пространство имеет пустой базис
и обладает ровно одним эндоморфизмом — нулевым.
Определитель эндоморфизма нулевого векторного пространства равен 1,
а его матрицей будет пустая матрица
(матрица с пустым множеством строк и столбцов).
Морфизмы из нулевого или в нулевое векторное пространство
будут иметь пустое множество столбцов или строк.
Произведение пустого семейства объектов
(или предел пустой диаграммы) есть терминальный объект,
копроизведение пустого семейства объектов
(или копредел пустой диаграммы) есть начальный объект.
Тензорное произведение (в моноидальной структуре)
пустого семейства объектов есть моноидальная единица.
В частности, тензорное произведение пустого семейства
векторных пространств есть основное поле.
Норму гомоморфизма нормированных пространств f: X→Y часто
определяют как sup_{x∈X: x≠0} ‖f(x)‖/‖x‖ или как sup_{x∈X: ‖x‖=1} ‖f(x)‖.
Эти определения не работают в случае X=0,
а также, если допускаются полунормы, в случае если полунорма нулевая.
Правильное определение, работающее во всех случаях, в том числе и для полунорм:
‖f‖=sup_{x∈X: ‖x‖≤1} ‖f(x)‖.
Конъюнкция пустого семейства утверждений истинна,
дизъюнкция пустого семейства утверждений ложна.
Объединение пустого семейства множеств есть пустое множество.
Пересечение пустого семейства множеств есть класс всех множеств
(или универсум, или другой аналогичный объект — зависит
от используемых теоретико-множественных оснований).
Например, топология на множестве X — это семейство его подмножеств,
замкнутое относительно произвольных объединений и конечных пересечений внутри X.
Забывающий функтор из категории пунктированных множеств
в категорию морфизмов множеств, интерпретирующий пунктированное множество A
как морфизм из одноэлементного множества в A, имеет левый сопряжённый функтор.
Значение этого функтора на объекте A→B обозначается B/A
и называется фактормножеством множества B по множеству A.
(Здесь имеет место очевидная волность речи.)
В случае A=∅ имеем B/∅=B⊔*, объединение B и одноэлементного множества,
тем самым фактормножество иногда может быть больше исходного множества,
а факторотображение может не быть сюръективным.
Весьма показательна ошибка, которую сделал Hartshorne в своём
учебнике алгебраической геометрии в определении предпучка — он определяет
предпучок абелевых групп как предпучок абелевых групп в обычном смысле,
удовлетворяющий дополнительному условию F(∅)=0.
Это вызывает проблемы уже на элементарном уровне
(нельзя определить постоянный предпучок обычным образом,
непонятно как определить предпучок со значениями в произвольной категории),
а куча утверждений про предпучки (например, про универсальные копополнения)
становятся просто неверными.
На самом деле это условие является следствием аксиом пучка.
Действительно, для произвольной категории C предпучок
со значениями в C — это контравариантный функтор
из противоположной категории открытых множеств
данного топологического пространства в C,
а пучок — это предпучок, удовлетворяющий свойству спуска:
конус спуска произвольного покрытия произвольного открытого множества
является предельным конусом.
Если взять пустое покрытие пустого множества, получаем,
что значение пучка на пустом множестве является терминальным объектом.
Желаю всем читателям избавиться от своего страха перед нулём и единицей,
если он у них есть, и пользоваться этими понятиями свободно,
без дополнительных оговорок.
Поводом к написанию записи послужило одно замечание одного математика,
в котором он использовал пучки абелевых групп, обладающие свойством F(∅)=0,
и весьма обрадовался, когда я объяснил ему, что это свойство
является тривиальным следствием определения пучка.
Tags: математика, преподавание
|
|
08:45 pm
[Link] |
Семинар по струнной топологии
Приехав на зимние каникулы,
организовал очередной топологический семинар,
на этот раз будем изучать струнную топологию
(Chas, Sullivan, Cohen, Jones, Воронов и другие).
Первый доклад во вторник, 29 декабря 2009 года в 19 часов в ПОМИ.
Приглашаются все желающие, если таковые имеются.
Домашняя страница семинаров: http://dodo.pdmi.ras.ru/~topology/
Надеюсь записывать лекции на камеру и выкладывать их.
Не уверен, правда, что это кому-то нужно.
Посещаемость семинаров неуклонно падает — старые участники понемногу
уезжают в аспирантуру (и не приезжают на каникулы), новых топологов не видно.
Из моего потока в ЛИТМО (Институт точной механики и оптики, 2002 год поступления,
на потоке изначально училось 42 человека, некоторых потом отчислили)
три человека поступили в математические аспирантуры различных западных университетов (Berkeley, Yale, Northwestern).
Сложно представить себе, чтобы такое могло произойти сейчас, видимо даже если рассматривать
поток отделения математики матмеха, да и весь матмех. Или это не так?
Будет интересно, если кто-нибудь с матмеха расскажет, сколько выпускников в среднем продолжают
заниматься математикой и где.
Тем временем, библиотека Эйлера
выложила очередные два сборника «Математика».
Кроме того, в ней по-прежнему лежат все журналы от Springera
(и ещё несколько других), а скоро снова будет доступна колхозная коллекция
(все выпуски вплоть до последнего 28-го, а возможно и до 32-го — когда выпустят очередное обновление).
Коррекция: по пожеланиям участников семинар перенесён на 19 часов.
Tags: математика, преподавание
|
|
11:02 pm
[Link] |
Манифест Dieudonné («Все мы учились в одном гадюшнике…»)
Время от времени я начинаю разъяснять, почему геометрия, в том виде, как она
сейчас преподаётся в школе, малоосмысленна, и почему ситуацию с этим необходимо менять.
Вот, например, несколько недавних дискуссий, есть и другие: 1, 2, 3.
Недавно я прочитал предисловие к книге Dieudonné 1964 года Algèbre linéaire et géométrie élémentaire
и обнаружил, что в этом предисловии ясно и понятно изложены все те мысли, которые я уже давно пытаюсь
разъяснять в различных дискуссиях.
По этой причине я решил воспроизвести русский перевод этого предисловия ниже.
Что (не)удивительно, с 1964 года прошло уже 45 лет, а воз и ныне там — за это время ничего
не изменилось. Из различных маразмов, описанных Dieudonné, единственное, чего мне удалось избежать — шары Данделена.
Зато очень много времени было потрачено впустую на окружность девяти точек, построения циркулем и линейкой,
решения задач на треугольники, разучивание псалтыря тригонометрических формул и прочие бессмыслицы.
В свете параграфа про высоты треугольника и сопротивление материалов донельзя забавным представляется
комментарий в одной из недавних дискуссий.
Система аксиом, которой мы пользовались на геометрии, была неполной,
по причине чего теоремы часто «доказывались» неявным использованием интуитивно очевидного утверждения.
И это — в двух лучших математических школах Петербурга — 30-ой и 239-ой.
Что творится в обычных школах, страшно даже подумать.
От себя могу добавить, что при первоначальном изучении геометрии, по-видимому, можно определить точку
как пару рациональных чисел. После можно ввести операции векторного пространства, подробно изучить их
геометрический смысл. Затем можно определить прямую параметрическим образом, научиться пересекать прямые
(и доказать, что точка пересечения единственная), проводить прямую через две точки (с доказательством
единственности), и так далее. Через некоторое время станет ясной необходимость введения вещественных
чисел (а на алгебре будет параллельно доказана иррациональность квадратного корня из 2).
Вещественные числа, по-видимому, проще всего ввести как сечения.
Что самое забавное, аргументация Dieudonné точно также применима к студенческой программе по математике.
Вот список некоторых вещей, которые я или люди на курс младше меня в своё время должны были изучать или делать:
- Условно сходящиеся ряды и интегралы;
- Эпсилон-дельта формализм;
- Остаточный член формулы Тейлора в форме Шлёмильха-Роша;
- Интеграл Римана;
- Интеграл Стильтьеса;
- Вычислить производные от 50 функций;
- Вычислить интегралы от 50 функций;
- Формулы Грина, Гаусса и Стокса;
- Вихрь, градиент и дивергенция;
- Раскрытие неопределённостей;
- Криволинейные интегралы первого и второго типа;
- Тензор — это набор чисел, изменяющийся следующим образом при замене системы координат…;
- Решение обыкновенных дифференциальных уравнений методом разделяющихся переменных, методом подстановки и ещё десятком трюков (про это ещё Rota написал в своё время);
- Курс «аналитической геометрии» (при наличии курса линейной алгебры);
- Набор трюков для решения трёх уравнений с частными производными («математическая физика»);
- Вычисление интегралов путём вычетов.
Каждый может легко продолжать этот список до бесконечности.
Было бы неплохо изъять из учебного плана принудительную галиматью вроде «математического анализа», «аналитической геометрии»,
«теории функций комплексного переменного», «дифференциальных уравнений», «теории вероятностей», «математической физики»,
«дискретной математики», «математической статистики», «численных методов» и им подобных
и заменить их на такие: «общая топология», «линейная алгебра», «гладкие многообразия», «комплексная геометрия»,
«теория меры», «гармонический анализ», «микролокальный анализ», «алгебраический анализ и D-модули»,
«геометрический анализ» и так далее. С современным содержанием и в современном изложении.
[Наличие в любом плане научно-технической специальности кучи
принудительной гуманитарной ахинеи я и вовсе оставляю за скобками.]
К сожалению, всё это абсолютно нереалистично в нынешних условиях… А жаль.
Извините, что так резко — мне просто жаль кучи бессмысленно потраченного времени в студенческие годы.
Просьба воспринимать всё это как призыв к конструктивной деятельности, а не деструктивной.
[Впрочем, банальное изъятие из плана кучи гуманитарного мусора, отнимающего ценное время, можно, наверное, рассматривать как конструктивное действие.]
А теперь — собственно предисловие к книге Dieudonné.
Ввиду ограничения на длину записи в LJR выкладываю его отдельно здесь.
Tags: математика, преподавание
|
|