Про основания математики
Почитал дискуссии и то, что там дальше по ссылкам.
Зрелище грустное. Сначала дисклеймер - я не математик, а компьютерщик, тем не менее - скорее всего в subj разбираюсь лучше чем все прочие участники данной темы. Дело в том, что у очень многих, кто с математикой дело имеет, рано или поздно появляется зуд в жопе про "философию математики", и так уж вышло, что я не поленился в этом разобраться. Там вполне можно разобраться.

Что я хочу сказать по поводу:

1) Математика imho нужна для получения практических результатов. Если из теории нет и не предвидится никаких выходов в практику (прямых или там через десять уровней косвенности) - это род интеллектуального онанизма. Понятно, что к подобному онанизму как и в любой серьезной науке надо относится терпимо - а вдруг чего-нибудь когда-нибудь выйдет, но цель она все-таки внешняя. Не обязательно суперструны, конечно, Миша тут необоснованно сужает тему. Просто в суперструнах математика сложная, поэтому ее любят, а в том же функциональном программировании - простая, там другая проблема - не вполне понятно как и куда именно там дальше двигаться. Хотя ясно, что в принципе вроде есть куда.

С другой стороны - что до компутерщины - двигаться там, по крайней мере в России, imho некому, просто потому что afaik даже той математике, которая на эту тему уже есть ни в ЛГУ ни в МГУ практически никого не учат. То есть - компутерщиков как-то учат, если повезет - но из них математики понятно какие.

2) Конструктивная математика давно и прочно является разновидностью духовного онанизма. Практических выходов из нее нет и не предвидится. Они имела содержательный смысл в 30-е - когда со всем этим разбирались и было неясно, что вообще из этого выйдет.

3) Основания математики - это проблематика 20-30 годов, к 50-60 гг ее предмет практически исчерпан (по крайней мере на современном уровне) и вместо того, чтобы заниматься пустопорожним философствованием надо просто разобраться в том, что тогда сделано. Или забить. Вероятно за этим матлогику было бы полезно преподавать в обязательном курсе. Чтобы фигней не страдали.

Философские рассуждения Пуанкаре, Гильберта etc значение имеют скорее историческое - потому после той же теоремы Геделя и проч. представления на эту тему естетсвенно сильно поменялись.

4) Какие-то выходы в компутерщину из всего этого есть - но, как обычно, они имеют мало отношения к философии "конструктивной математике". Зато имеют ко всяким извращенным логикам, вопросам их разрешимости и непротиворечивости и к категорной логике, которую товарищи с МГУ полагают "полной фигней". Математика там не бог весть какая - но все-таки.

Ну всякая традиционная прикладуха с теорией информации и т.п. тоже естественно.