Спасибо, можно хоть оглавление посмотреть. Ну что ж, мои подозрения оправдались - авторы разжевали ту часть Ленга, которую в их Вермонтском колледже кто-нибудь может понять (включая их самих, не исключено). Что меня поражает, так это то, что ее используют в качестве учебника в Стэнфорде. Правда, преподаватель - специалист по геометрической теории меры и минимальным поверхностям, а не алгебре.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

которую в их Вермонтском колледже кто-нибудь может понять

Вы серьёзно? Ленг ведь тоже для аспирантов писал.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Э, не всякий аспирант дочитает до середины Ленга, особенно если его плохо учить :)

Я вот все собираюсь написать пост на тему того, что многие выпускники Оксфорда-математики не знают, что такое лампочка Ильича (тензорное произведение) векторных пространств. Это не дается им в курсах первых трех лет, и четвертого вроде тоже (по состоянию на год назад)...Что меня удивляет более, это то, что некоторые взрослые коллеги считают, что многим из низ этого и не надо...Поподробнее узнаю, напишу пост...

(Reply to this) (Parent) (Thread)

А что, все выпускники Петербургского университета это знают?

Я вот тут скачал на днях учебник Д.К. Фаддева по алгебре, основаный на его лекциях в Ленинградском университете. Это 1984-й год издания; говорят, что уровень преподавания непрерывно снижался года с 1978-го. Так вот, там тензорным произведениям посвящен последний параграф предпоследней главы, 5 страниц. Вся глава, "Тензоры", занимает 11 страниц. Неужели этот материал расширили, а не выкинули?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Вроде никто алгебру по Фаддееву не учил, я сам попытал выучить на первом курсе линейную алгебру( которую тогда не знал ещё), пришёл в ужас и больше не открывал. Линейную алгебру выучил по Кострикину

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Ну кто-нибудь да учил. Было же время, когда Фаддеев лекции читал. Вот, в ней написано - "в основу книги положены лекции, которые я читал последний раз в 1977-78 годах". Говорили, что с тех пор уровень и студентов, и лекций снижался. Говорили преподаватели университета, не доверять им у меня нет оснований, правда, не специфически про алгебру. Сам я естественно, не преподававши там, не могу сравнить разные годы.

А линейная алгебра, вообщем-то, раздел функционального анализа - теория операторов в конечномерном гильбертовом пространастве. Наверное, с такой точки зрения ее и надо учить.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Смотря кто читает. Курс Яковлева по линейной алгебре(я говорю про второй курс - жордановы формы, тензорные произведения), был очень неплох, на уровне Ленга.
А то что нам читали было нечто сильно пережёванное, если судить по конспектам - на лекции я не ходил.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

А когда нам тензорные произведения читали, а то я не помню ? мой знакомый студент Хичина, учившийся в Даблине, про них узнал на втором году...

(Reply to this) (Parent) (Thread)

На первом курсе у нас был курс коммутативной алегебры

(Reply to this) (Parent)

У Постникова есть чудесный учебник линейной
алгебры для первокурсников. Там половина книги
про тензорные произведения, внешние и симметрические формы.

Такие дела
Миша

(Reply to this) (Parent)

Я не понял, что вас удивило. То, что Университет Вермонта не особенно подходящее место для изучения математики? Ленг писал для аспирантов, в таком качестве книжка обычно и используется. Например, у нас в Мичигане. Это не значит, что ее нельзя читать на первом курсе или даже в школе. Но я ведь Ленга не предлагал, правда? Я думаю, что этим студентам Ленг будет не по зубам. А зачем читать ухудшенный вариант 1/3 Ленга, когда можно почитать что-нибудь доступное и мастерски написанное (как указанные книжки Stillwell'а)?

(Reply to this) (Parent)

Именно, вы совершенно правильно отметили, что подавляющее коичество профессоров просто не способно преподнести материал на приличном уровне. Так что Dummit & Foote не самая плохая альтернатива, с учетом того, что большнинство мало-мальски продвинутых тем они попросту загоняют в упражнения, так что читатель вполне может с ними познакомиться.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Я вас не понимаю. Если кто-то может что-то выучить сам, решая упражнения, почему он не сможет сделать то же самое с книжкой Ленга? Ленг, кстати, очень гибкая книга, после первых двух-трех глав остальное можно читать или не читать в почти любом порядке. И упражнения там есть.

Те люди, которые ее не любят, обычно не любят ее именно за то, ради чего она написана - за дух современной алгебры (алгебры 60-х, в первом издания, как написал Кострикин в предисловии к переводу - последнее издание сильно модернизировано).

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Знаете, мне из препоганого российского курса университетской педагогики/психологии запомнилось немного, но одна вещь мне запомнилась. Кажется, Выготский - "зона ближайшего развития". А именно, двум детям одного возраста дают решить некоторые задачи, с одними они справляются, а с другими нет. Внешне их тесты-результаты абсолютно одинаковы. Далее, взрослый дает детям подсказки как решать задачи, с которыми они не справились. Один ребенок с этими подсказками решает еще кучу задач, другой же так и не может решить ни одной.

С хинтом средней паршивости я решаю такие задачи, к которыми без хинта даже подойти не решаюсь. А под хинтом можно понимать простое включение дополнительной задачи даже без намека, что это можно использовать потом, в более сложной. И материал усваивается на порядок легче, и под конец начинаешь щелкать задачи и без предварительных хинтов. Зона ближайшего развития.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Ну это понятно. А вы знаете, где больше всего задач с указаниями? В книгах Бурбаки.

(Reply to this) (Parent)

А что касается "духа современной алгебры", то, на мой скромный взгляд, он попросту противоречит основополагающему принципу "от простого к сложному". Ситуация, когда определения сложны, а доказательства просты, абсурдна, и тот разрыв, который образовался между ведущими математиками и всей остальной массой, только нарастает.

Единственный выход - это внедрение программы Вербицкого, начиная с детского сада. В конце концов, если когомологии и категории будут впитываться в юном возрасте, тогда они будут вполне естественными, но вот те, кто не получит "Вербит-образования", к сожалению, останутся за бортом навсегда (когда я посещал курс Гомологической Алгебры, препод выкладывал лекции и упражнения на веб, и как-то сказал, что с ним связался мужик, который как раз хочет изучать эти вещи, какой-то профессор из Италии, у которого статей "много больше чем у меня" - слова лектора).

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Не исключено, что вы отчасти правы в одном: если некоторые идеи не усвоены до определенного возраста, потом шансов их усвоить почти нет. Во всяком случае, я встречал людей, которые вынесли это из собственного опыта (попыток объяснить эти идеи).

А вот насчет духа современной алгебры я не могу с вами согласиться. Во-первых, ее определения просты: кольцо, модуль, даже комплекс модулей. Во-вторых, и это главное, современные абстрактные концепции - неизбежный результат попыток решить классические задачи 19-го века. Если вас интересует развернутая аргументация на эту тему, я рекомендую книгу Ж. Дьедонне "Mathematics - the music of reason". Я не смогу превзойти его ни по литературному мастерству, ни по количеству разобранных примеров, ни по убедительности.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

А могли бы вы привести примеры? Очень интересно.
Мне интересно было бы узнать примеры идей, которые на ваш взгляд должны быть усвоены пораньше, так как в противном случае они могут остаться не усвоенными навсегда. Ещё интересна ваша оценка (приблизительная, конечно) критического возраста.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Говорят, более абстрактные идеи позже усваиваются гораздо труднее или не усваиваются совсем. Та же гомологическая алгебра. Или еще страшнее, алгебраическая К-теория. Теория схем. У меня очень собственного мало опыта, позволяющего это подтвердить это или опровергнуть.

Пару лет назад я делал обзорный доклад о работах Воеводского. Ну, это слишком громко сказано. Я попытался только сформулировать самое знаменитое приложение - гипотезу Милнора о квадратичных формах. Кроме квадратичных форм, там участвуют К-теория Милнора (которая очень просто определяется, по сравнению с другими вариантами) и (о ужас!) когомологии Галуа. Но можно все-таки, как мне кажется, понять, чем это полезно и интересно, не вникая в детали и даже не зная, что такое когомологии Галуа. Судя по реакции, у всех, кроме алгебраистов, осталась впечатление типа "а зачем это нужно".

Когда человек только учится, ему можно рассказать определение К-теории Милнора и он скажет - здорово, какая красивая штука! Если человек провел несколько лет, занимаясь, скажем, дифференциальными уравнениями, его реакция будет - а зачем это нужно? Чем более высок уровень абстракции, тем, как мне кажется, нужно больше детской непосредственности (в духе того, как об этом говорил Колмогоров).

Можно привести еще такое соображение: известно много примеров первоклассных математиков, переходивших из более абстрактных разделов в более конкретные. Мамфорд: алгебраическая геометрия -> прикладная математика (распознавание образов). Новиков: топология -> математическая физика. Сулливан: топология -> динамические системы. Смейл: топология и динамические системы -> математическая экономика, теория вычислений. Примеры движения в обратном направлении найти очень трудно. На первый взгляд Арнольд перешел из динамических систем в почти топологию. Но за этим кроется важная деталь: Арнольд очень рано, по рекомендации Колмогорова, изучал топологию, вполне серьезно (даже был оппонентом на кандидатской диссертации Новикова).

Что касается возраста, то, я думаю, важен не биологический возраст, а время, проведенное за занятиями математикой того или иного типа. Предрассудки часто складываются еще в аспирантуре (как у akor168@lj, который все жалуется на "сложные определения и простые доказательства").

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Уважаемый Сова,

Вы не будете возражать, если я вынесу этот Ваш комментарий, в свой журнал как отдельный пост, с небольшим своим комментарием?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Не, не возражаю. Только переставьте пожалуйста, слова "собственного" и "мало" в последней фразе первого абзаца. ;)

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Ой, в той же фразе еще лишнее "это".

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Да, у Вас в журнале больше народу это увидит...Это наверное было бы интереснее.
Впрочем, я все-таки запощу прямо сейчас (и дам ссылку на Вас, если она появится).

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Вы хотите, чтобы я продублировал этот коммент у себя в журнале?

Это, конечно, можно, но отвлечет юзеров от вашего журнала.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Как Вам удобнее, я просто подумал, что у Вас
более интересная дискуссия может получиться.

А что отвлечет, не страшно..

(Reply to this) (Parent)

Тема интересная. Вы лучше её у себя запостите, а то от него не дождёшься

(Reply to this) (Parent) (Thread)

А чего вы так. уже запостил. Правда, предлагает мне тоже.

(Reply to this) (Parent)

спасибо! я завтра запощу, внеся эти исправления, и какие-нибудь свои комментарии...

(Reply to this) (Parent)

Интересно, и, вероятно, верно. Тут, еще одно, абстракция - это, в некоторой степени, язык, а учить его в возрасте физиологически трудно.
Хотя, Лев Толстой уже за 60 учил греческий, чтобы прочитать Гомера в
подлиннике. И зачем это было ему нужно? Интересно было, наверное, как
ребенку.

Летом понял, что хороший результат получается, когда избавляешься от
предрассудков, смотришь на все наивными глазами. В этом смысле во многой книжной мудрости много печали.

(Reply to this) (Parent)

Спасибо за подробный ответ!

нужно больше детской непосредственности (в духе того, как об этом говорил Колмогоров).
- Ещё в "Урожаях и посевах" Гротендик об этом неоднократно повторяет. Там кажется употребляется слово "невинность".

(Reply to this) (Parent)

а как вы думаете, можно по книжкам и интернет сайтам математику учить ребенку 14 лет?
мы крутим с разных сторон "листочки", которые Вербицкий выложил и пытаемся склеить какую то общую картину, как то подступиться.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

По книжкам да, по интернету - нет.

Листочки Вербицкого я аж распечатал, из любопытства. Этим вы отобьете всякий интерес к математике. Если у вас другая цель, отложите их в сторону. Эти листочки излагают в форме задач материал, который сам по себе малоинтересен, но нужен для другого. Начинать надо с внутренне интересных вещей, ориентируясь на любопытство, а не на "надо". Кроме того, эти задачи нельзя решать без руководителя, который подскажет идеи, даст контекст, и т.д. Нормальное мотивированное изложение этого материала, ориентированное на студентов МГУ, занимает несколько сот страниц.

Есть много хороших книг, я могу попытаться что-нибудь посоветовать, если вы расскажете уровень подготовки. Есть книги и в интернете, особенно русские, но я считаю, что их нужно по возможности превращать в бумажные книги. Хотя бы потому, что их нужно читать "с карандашом в руках", таскать по дому, и т.п. Я в этом старомоден.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

была бы очень признательна за список книг!
Проблема в том, что уровень подготовки определить сложно. Дана учиться в 8 классе и по американской программе, по крайней мере, по той, что преподают в ее не очень хорошей школе, новости для нее начнутся в конце 10-го класса. Весь материал до этого, она уже проходила, причем в 6 классе.
На тестах в high school тоже не встретилось ничего нового.
У нее, вероятно, была хорошая русская подготовка по 5 класс включительно. Потом она потеряла год в американской школе и была отправлена учиться обратно в Питер. По разным причинам ( потерянный год, переходный возраст, перемена мест и школ) она стала учиться плохо, в смысле оценки в хорошей школе были плохие. Но ей по прежнему нравился сам процесс. В прошлом году, ее учитель геометрии Григорий Залманович, как я понимаю, произвел на нее неизгладимое впечатление.
Самое плохое , что для нее математика ассоциируется сейчас только с одним – со скукой.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

"Самое плохое , что для нее математика ассоциируется сейчас только с одним – со скукой."

С этим трудно бороться. Никаких листочков Вербицкого. Я бы начинал с Мартина Гарднера и Я.И. Перельмана. Например,

Martin Gardner, Mathematics, Magic and Mystery,

или Перельман, Живая математика - http://www.mccme.ru/free-books/djvu/perelman/alive_math.djvu. Для того, чтобы ее читать с экрана или распечатать, вам нужен (бесплатный) plig-in к IE, который можно найти Гуглом на DjVu.

Эти две книжки были одними из первых, которые я сам читал.

Вообще, на сайте http://www.mccme.ru/free-books/ilib.htm есть много хороших популярных книг на русском языке, хотя почти все они предполагают довольно высокий уровень. Книжки Перельмана хороши еще тем, что их можно читать, пропуская трудные места.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

спасибо.
купила книжку про живую математику, буду ждать пока дойдет :-)
Думаю, что был бешеный наплыв желающих, если бы кто то создал коммюнити для русских детей, живущих в разных местах, которые хотят учиться математике.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Купите Гарднера тоже, она очень дешевая и очень хорошая, дойдет за несколько дней.

Если вы имеете ввиду коммьюнити в ЖЖ - это нереально, по нескольким причинам. Главная - письменные адекватные ответы на содержательные вопросы (на любом уровне) потребуют огромного количества времени. Ну и еще трудности с набором формул, невозможность рисовать поясняющие картинки. В то время как студенту в ЖЖ я могу сказать - посмотрите такую-то книжку, там это должно быть, для детей это не годится. Можно, конечно, ограничится комментированным списком литературы, но это не коммьюнити.

На самом деле, вы живете в Нью-Йорке. Там должно быть все, включая кружки для детей и т.п. Я не знаю, как это искать, но уверен, что это есть. Несколько дикая идея: попробуйте обратится к Mark Saul, который упоминается здесь: http://www.nsf.gov/od/lpa/newsroom/pr.cfm?ni=60. Он раньше занимался школами в Нью-Йорке. К сожалению, я его лично не знаю.

(Reply to this) (Parent)

еще можете попробовать спросить (почитать) bormozel , он кружками в питере занимается: впрочем, советы совы мне нравятся больше...

а коммуните создать не проблема технически, но как правильно заметил сова, для родителей скорей, чем для детей, и обсуждать список литературы :), кидать туда задачки, но не решения :))

(Reply to this) (Parent)

С детского сада, тоже плохо. Я например, не знал английского пока меня ему учили в школе, а выучил, когда перестали учить.
Надо чтобы человек сознательно всё узнавал. По-моему, возраст в котором человек способен с интересом постигать математику начинается с 13-14 лет.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Нет, все-таки можно раньше. Зависит от человека. Ну, конечно, в 5-м классе не обязательно учить гомологическую алгебру. ;)

(Reply to this) (Parent)

Что меня поражает, так это то, что ее используют в качестве учебника в Стэнфорде.

Забавно, к разговору о учебнике:

http://www.math.harvard.edu/graduate/index.html#qualifying

via bitango@lj

Гарвард, рекомендация для сдающих Prelims по алгебре, как раз Dummit&Foote почти в полном обьеме (годовой курс алгебры обычно покрывает от половины до трех четвертей данной книги).

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Там же все, кроме послeдней главы или двух, отнесено к undergraduate level.

А у нас в Мичигане алгебру преподают по Ленгу. :)

(Reply to this) (Parent)