Тут есть некоторая тонкость: что такое дифференциальная геометрия?

К дифференциальной геометрии я отношу связности в главных (и ассоцированных) расслоениях и все вокруг них. И при этом считаю, что все что связано с римановой метрикой (свойства самой метрики, линейные связности, геодезические, тензор Ричи, свойства разных лапласианов на римановом многообразии etc) опять же не соcтавляют предмет курса дифференциальной геометрии, но отдельного курса римановой.

Материал книжек типа
J. Lee, Introduction to Smooth Manifolds,
Marsden, Ratiu, Abraham. Manifolds, Tensor analysis, and Applications
Постников 3 семестр: Гладкие многообразия
я никогда к геометрическому не относил, это скорее часть курса анализа и диф. топоологии.

Так что вопрос такой: именно связности отдельным курсом учат в американсиких университетах? и по каким книжкам?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

А есть ли такой предмет? Элементарные свойства связностей обычно попадают в общий курс теории многообразий. Материала о связностях, заслуживающего попадания в стандартный курс, почти нет. Хорошая книжка, в которой есть глава на эту тему - это Ш. Стернберг, Лекции по дифференциальной геометрии. Эта книжка мне вообще очень нравится, хотя систематически я ее никогда не читал. Хотя она и довольно старая, недавнее новое английское издание показывает, что книжка популярна. Есть и более новые книжки по теории связностей Картана, но я бы не рискнул назвать их стандартными, по нестандартности самого предмета.

Так что все еще нужно уточнение, что именно вас интересует.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

А есть ли такой предмет?

Предмет дифференциальная геометрия, как я его описал? Видимо, Постников так себе представлял эту учебную дисциплину, в его книге по дифференциальной геометрии ничего риманова нет... А как оно на самом деле, это я у Вас и пытаюсь выяснить.

Я так понял, есть для студентов не высокого курса (1-4) "стандартный курс", в которой вошло что-то типа: гладкое многообразие, (ко-)касательное расслоение, группы Ли, тензоры, диф. формы, производная Ли, расслоения, связности, римановы многообразия, что-то про кривизну, римановы подмногообразия и вторая фунд. форма, когомологии Де Рама. Для такого курса Вы книжки назвали.

Если человек дальше будет геометрию изучать, то какие курсы (в направлении свойств связностей и римановых метрик) он может взять и какие книжки ему укажут?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Вы имеете ввиду книжку "Лекции по геометрии. Семестр IV. Дифференциальная геометрия"? Главное, чего я не понимаю по поводу этой книжки, это того, почему она так называется. Судя по оглавлению, это книга главным образом по топологии, с добавление групп Ли (определенный фрагмент теории групп Ли абсолютно необходим для топологии) и элементарной теории связностей. В равной мере я не понимаю, почему следующая книга (Семестр V) называется "Риманова геометрия". Она очень далека от того, что сейчас понимается под римановой геометрией. Название "Дифференциальная геометрия" ей бы больше подошло, хотя выбор тем все равно казался бы несколько странным.

Если дальше изучать геометрию, то нужно прежде всего уяснить, какую геометрию - извините за занудство. Риманову, комлексную (кэлерову), симплектическую - книги будут разными. В том, что касается связностей, то, как мне кажется, сейчас актуальны только вещи типа уравнений автодуальности - да и то это вышло из моды после Сайберга-Виттена. Но это не очень-то геометрия: сами уравнения автодуальности или Янга-Миллса - это анализ (либо, в специальных случаях, комплексная или алгебраическая геометрия), а их примения - это главным образом топология (и тут уравнения Сайберга-Виттена их вытеснили).

Мне кажется, что "общее образование" в области дифференциальной геометрии более-менее исчерпывается материалом обсуждавшихся книг, плюс введение в риманову геометрию (второй главы "Теории Морса" Милнора неспециалистам обычно хватает, хотя можно и немного больше). Дальше я препочитаю, чтобы была какая-то цель. Скажем, вы хотите изучить доказательство какой-то важной или знаменитой теоремы, или начинать работать в какой-то теории.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

"Риманову, комлексную (кэлерову), симплектическую - книги будут разными."

Чуть выше я писал, что интересуюсь книгами по римановой, хотя на самом деле мне интересно по каким книжкам учат и симплектическую, и кэлерову.

Хорошо, Вы меня убедили, что связности отдельно не учат и курса где бы доказывались теорема Номидзу-Одзеки или теорема редукции нет.

Моя цель, это всякие доказательства теоремы Атьи-Зингера.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Ну вот, так бы сразу и сказали.

Вообще-то эту книжную беседу, наверное, стоило бы куда-нибудь перенести, как уже предлагал хозяин - может, к вам.

По римановой геометрии много книг, я бы для начала предложил питерскую - Бураго-Залгаллер, хотя это не будет отвечать на вопрос о том, по каким книгам учат на Западе. По симплектической - McDuff-Salomon. По комплексной - старая переведенная на русский книжка Р.О. Уэллса. Есть более новые, но они не успели стать стандартными. Чаще всего, наверное, учат по Гриффитсу-Харрису. В нем дыры всякие есть, а так книжка замечательная.

К теореме Атийи-Зингера можно так подобраться. Во-первых, нужно знать топологию в объеме, требующимся для формулировки. Затем нужно изучить необходимый анализ. Можно использовать семинар Пале для ориентировки, но читать его весь подробно не стоит. Топологическая и дифференциально-геометрическая части там написаны хорошо, а аналитическая - довольно плохо. Необходимый анализ почти весь есть в упомянутой книжке Уэллса и в первой главе книги Шубина про псевдо-дифференциальные операторы. На английском есть книжка Lawson & Michelson, Spinor geometry, где собрано все необходимое и доказана теорема Атийи-Зингера. Вероятно, с нее можно начинать. Стоит также читать оригинальные работы Атийи-Зингера, они очень ясно написаны. Более поздние доказательства для оператора Дирака есть в книжке Berline, Getzler & Vergne. Вероятно, можно начинать и с нее.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Пока решили оставить дискуссию тут.

Можно все таки продолжить список книг по разным геометриям, которые вы считатаете хорошими, а то пока еще не все перевели в электронный формат и скажем McDuff-Salomon мне не доступена.

Семинар Пале (не книга, а самo мероприятие) был уже после доказательства Атьей и Зингером теоремы? Серия их статей это 68-й год, а семинар был раньше...

Lawson & Michelson, Spinor geometry пока не отсканили, я собирался вместо неё почитать Gilkey Invariance theory, the heat equation, and the Atiyah-Singer index theorem. Далее у меня был план разобрать доказательство физиков при помощи SUSY QM (впрочем, его я уже и так понимаю) и его формализацию Гетцлером, плюс вклад B.Simonа в эту деятельность.

Вообще я не очень понимаю, сколько существует более-менее различных доказательств, ясно что у Гетцлера был иной подход, а вот что было до него?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Теорема была доказана в 63-м, а книга вышла в 65-м.

Кстати, хорошо бы такой обзор был, про разные подходы к доказательству т. Атьи-Зингера (или об индексе вообще).

Плюс есть очень милый Федосов в ВИНИТИ (в колхозе есть).

(Reply to this) (Parent)

Списки литературы. (Я не буду искать точные названия, ладно?)


Риманова геометрия:

Бураго & Залгаллер;

Cheeger & Ebin, Comparison theorems in riemannian geometry (out of print, хотя имеет репутацию исключительно хорошей книжки);

Громол, Клингенберг & Мейер, Риманова геометрия в целом;

Klingenberg, Riemannian Geometry - упор на задачи о геодезических, но это не та книжка, которая переведена на русский;

I. Chavel, R. G. (выходит второе издание);

P. Petersen, R. G. (выходит второе издание) - ориентирована на внутренние задачи римановой геометрии;

J. Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis (4 или 5 изданий за не более, чем 10 лет) - хороший подбор материала, но (судя по его другим книгам и статьям), очень неаккуратный автор, отчасти предпочитает формулы структурным объяснениям;

J. Lee, все тот же - начальные главы;

F. Morgan, Riemannian Geometry: A Beginner's Guide - автор, книги которого очень коротки; видимо, по ним можно получить общее представление о предмете, но не выучить его.


Симлектическая геометрия (топология):

McDuff & Salomon - две книги, одна - введение, другая про J-голоморфные кривые, инварианты Громова-Виттена и т.п.;

Hofer & Zehnder - подход с точки зрения гамильтоновых систем и емкостей;

M. Audin, J. Lafontain et al. - семинар по J-голоморфным кривым;

M. Audin, Torus actions etc. - симлектическая редукция, теорема Атийи-Гийемина-Стренберга, формула Дюйстрмаата-Хекмана.


Теорема Атийи-Зингера:

Пале, Семинар по теореме Атьи-Зингера об индексе - излагает первое доказательство, которое только там и опубликовано;

Атья-Зингер, Индекс эллиптических операторов I-V - все переведено на русский язык, исключительно хорошее изложение - это второе доказательство.

P. Gilkey - его книга существует в трех (?) вариантах; мне как-то не очень нравится, формулы заслоняют картину в целом; третье доказательство, основанное на уравнении теплопроводности;

Атья, Ботт & Патоди, Уравнение теплопроводности и теорема об индексе, Математика, Сб. переводов, начало 70-х - вариант того же доказательства (в статье есть какая-то небольшая ошибка, исправление опубликовано в Inventiones);

Lawson & Michelson, Spin Geometry - подробная книжка, излагающая второе доказательство;

Berline, Getzler & Verne - подробное изложение подхода, идущего от Гетцлера (и, через него, физиков) и (независимо) Берлин-Вернь; особой похвалы заслуживает устранение случайных процессов из работ Bismut'а (которому принадлежит так называемое "вероятностное доказательство").

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Я как-то не уловил доказательство, основанное на уравнении теплопроводности придумал сам Gilkey? Или все-таки Атья, Ботт & Патоди?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

История подробно изложена во введении к упомянутой работе Атийи, Ботта и Патоди. Если кратко, то дело было так.

Идея использовать уравнение теплопроводности (в эквивалентной форме на языке дзета-функций) принадлежит Атийе и Ботту. Получающаяся формула для индекса очень сложна. МакКин (вероятностник!) и Зингер проанализировали случай эйлеровой характеристики (соответствующего оператора), обнаружили неожиданные сокращения в формуле, и вдвинули гипотезу, что в случае эйлеровой характеристики все сокращается. Патоди доказал, что все сокращается сначала в случае эйлеровой характеристики, а затем в случае теоремы Римана-Роха (которая явлется частным случаем теоремы об индексе). После этого Джилки сделал общий случай, а затем Атийя, Ботт и Патоди нашли более концептуальное доказательство, которое и изложено в их работе.

Патоди, видимо, был гениальным математиком вроде Рамануджана. Если бы он не умер так рано...

(Reply to this) (Parent)

Po Rimanovoj och. horosh vtoroj tom
Manfredo do Carmo "Riemannian geometry"

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Спасибо.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

spasibo za chto ? pol'zujas' sluchaem : wy ne mogli by mne prislat'

Zwiebach 'a , Intro to String Theory ?

I have a (vain!) hope to understand it 'cos it's for undergraduates...

(Reply to this) (Parent) (Thread)

За указание на книгу, я, кажется, такой не знал.

Конечно, куда отсылать (в юзеринфо я адреса не нашел)?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

A! Eto putanica : ya bbixob , a knigu Wam ukazywal ayudug .
Wysylajte mne na gavrilovich@gmail.com ( iz-za putanicy posl.
paru kommentow ja zaskrinju potom.)

(Reply to this) (Parent) (Thread)

После многих попыток должен признать, что мне не удается отправить книгу, виной

(Reply to this) (Parent)

После многих попыток должен признать, что мне не удается отправить книгу, виной тому медленный модем, которым я сейчас вынужден пользоваться (я не в Питере), он не позволяет мне отправить столь большой файл.

Я попросил Лешу (kapahel) выложить его на фтп ФМК.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

izvinite! ya ne znal, inache ne stal by Was tak
bespokoit'...sorry! Spasibo!

(Reply to this) (Parent)

Стернберг мне как-то не нравиться совсем, местами нестандартные обозначения и G-структуры (я так и не понял, зачем он про них писал) сбивают с толку. Материал стандатный, да, для "первого концентра" теории связностей, но мне кажется много где это написано прозрачнее. Это только к седьмой главе относиться, конечно.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

эта дискуссия очень интересна и широкой публике, но боюсь, здесь
она потеряется...я бы никоим образом не хотел способствовать
ее завершению, но, может быть, возможно продолжить ее в другом месте ?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Давайте, Вы создадите отдельный пост со ссылкой на эту ветвь и мы продолжим там. Хотя опыт подсказывает, что перенос дискуссий приводит к их завершению.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

против опыта не попру --- продолжайте здесь...

а док. Атьи-Зингера меня интересует пока лишь с точки знения т.моделей---весьма платонически, то бишь...

(Reply to this) (Parent)

Хотя опыт подсказывает, что перенос дискуссий приводит к их завершению.

Да, к сожалению, это как правило именно так.

(Reply to this) (Parent)