Федя, объясни мне, пожалуйста, как можно определять векторное пространство не через модуль?

Ты не темный, а поясничаешь. Векторное пространство это множество объектов, которые можно складывать и умножать на скаляры так, что выполняются естественные аксиомы, от упоминания которых я воздержусь.

Если студент матмеха не знает, что такое модуль, то это тоже никуда не годится.
Модуль — часть базовой математической культуры.

Не обладая этой "базовой математической культурой" вполне можно заниматься математикой, особенно прикладной. Не зная, что такое векторное пространство, гораздо затруднительнее. Разница примерно как между "каждый выпускник школы должен уметь писать по-русски" и "каждый выпускник школы должен быть знакомым с творчеством Чехова".

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Паясничать, кстати, пишется через а.

Твоё определение дословно совпадает с определением модуля.
Без каких-либо изменений.

>Не обладая этой "базовой математической культурой" вполне можно заниматься математикой, особенно прикладной. Не зная, что такое векторное пространство, гораздо затруднительнее.

Интересно. Мне придётся просить тебя дать определение прикладной математики.

Дело в том, что от термина «прикладная математика» у меня возникает когнитивный диссонанс.

Хорошо известно, что значительная часть современной геометрии и топологии (гладкие многообразия, когомологии, К-теория, векторные расслоения, теорема об индексе, и так далее, и тому подобное)
используется в современной физике, более того, физика
без этого аппарата обойтись не может.
Теория чисел используется в криптографии, КАМ-теория в небесной механике, и так далее, и тому подобное.
Все эти области принято относить к «чистой» математике.

Вместе с тем, я уверен, что ничтожно малая (пренебрежимо малая) часть работ по «прикладной» математике имеет применения за пределами математики.
Более того, почти все работы в этой области пишутся без надежды
на то, что такие применения когда-то найдутся.

То есть если определять прикладную математику как математику,
которая используется в других науках и технологиях,
то получается, что терминология поставлена с ног на голову.

Возникает вполне законный вопрос об целесообразности
«прикладной» математики.

И, кстати, почему ты считаешь, что им нужны векторные пространства, но не нужны модули?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

прошу прощения, через а, конечно. Я спросонья, а мазилла глупая считает, что и через о нормально.

Дело же не в том, что определение совпадает. Если сказать, что "вот кстати так же можно и определить в.п. над кольцом - называется модуль", то никто не возмутится. Но ведь им определяют модуль не просто так, им потом определяют свободный модуль, проективный модуль, долго и мучительно классифицируют конечно-порожденные модули над областями главных идеалов, все определения типа тензорного произведения дают в случае модулей (через универсальную конструкцию) - а через несколько лекций говорят, что вот в принципе если исходное кольцо - поле, так это вообще тривиальный во всём случай, называется векторное пространство.


И, кстати, почему ты считаешь, что им нужны векторные пространства, но не нужны модули?

Кто такие они? Мне нужны векторные пространства и ни разу не были нужны модули (хотя у меня есть работа по теории представлений). Подавляющему большинству моих знакомых математиков, у некоторых из которых очень много цитирований разными авторами, тоже не нужны модули.

Возникает вполне законный вопрос об целесообразности «прикладной» математики.

Вопросы возникают слишком быстро. )) Впрочем, если говорить о социальном аспекте, то представить в обозримом будущем крупный математический факультет в какой-либо стране, в котором бы не было отделения "прикладной математики", у меня не получается.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>долго и мучительно классифицируют конечно-порожденные модули над областями главных идеалов,

Это называется жорданова форма. Кстати, не понимаю, почему
долго и мучительно, там всё делается за одну лекцию.

>все определения типа тензорного произведения дают в случае модулей (через универсальную конструкцию)

Мне неизвестно такого определения линейной алгебры, которое
выглядело проще для векторных пространств. Можешь привести
примеры?

Про тензорное произведение не понял.
Как ещё можно его определить?

>свободный модуль

Если ты собираешься классифицировать векторные пространства,
то без свободного модуля не обойтись. Его определение
одинаково просто в случае полей и колец.

>проективный модуль

Это важное понятие, но его разумнее ввести в рассказе
про основы гомологической алгебры.

Так что всё вполне разумно, кроме, быть может, расположония
проективного модуля.

>Подавляющему большинству моих знакомых математиков, у некоторых из которых очень много цитирований разными авторами, тоже не нужны модули.

Кто это подавляющее большинство?
Ты их спрашивал про модули?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Мне честно говоря неудобно всех знакомых (в том числе великих) математиков спрашивать про модули. Могу спросить Сержа Иванова при случае - он достаточно крут?

Тут (кстати про Сержа) как-то у Вербицкого обсуждали, кто из членов жюри конкурса Делиня знает, что такое финслерово многообразие. В блогах нашелся один Шень - тот не знал.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Это обсуждали по той ссылке, которую ты мне дал.
Но я там не нашёл признания Шеня про финслеровы метрики.
Да и что там знать — норма на касательном пространстве, гладко зависящая от точки.

>Могу спросить Сержа Иванова при случае - он достаточно крут?
Да. Спрашивать надо: пригодились ли ему модули (не над полями) в его работе хотя бы один раз.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

а не так: не пригодились ли нетривиальные факты из теории модулей?
любая абелева группа уже модуль, или действия R(t)..
само понятие проще финслерой метрики)

я, кажется, в доказательствах своих модулей не использовал ( группа галуа
действует у меня на в.п.)

(Reply to this) (Parent) (Thread)

а не так: не пригодились ли нетривиальные факты из теории модулей?

Что считать фактами "из теории модулей"? Я ссылался на разные нетривиальные факты из теории представлений - при желании можно назвать ее частью "теории модулей". Знать, что такое модуль, мне при этом было необязательно - то есть, я ни разу не думал про модуль.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Элементарную теорию представлений гораздо проще и понятнее излагать на языке модулей.
Вот, скажем, лемма Шура на этом языке становится совершенно тривиальной.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Дима, зачем ты мне это рассказываешь? Ты думаешь, что я не знаю? Или что я сомневаюсь, что ты знаешь?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Зачем тогда ты утверждаешь, что тебе не нужны модули?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Я утверждал ровно то, что нисколько не думал о модулях, решая свои задачи. Они были совершенно аналитические, хотя происходили во многом из теории представлений (для изучения основ которой полезно использовать модули). Люди часто вообще не в курсе всех доказательств всех используемых ими фактов, и ничего.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Но они были нужны тебе, когда ты изучал теорию представлений.
Мне сложно представить себе человека, работающего
в теории представлений и не знающего доказательство
леммы Шура.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

В данном случае я не являюсь контрпримером, но скорее случайно - лемму Шура рассказал нам за несколько месяцев до того Генералов. Но вообще мне очень легко такое представить. Например, для исследования асимптотики размерностей неприводимых представлений больших конечных групп едва ли нужна лемма Шура.

Одна из этих работ относится также к теории струн, про которую я ни тогда ничего вообще не знал, ни сейчас ничего не знаю. Соавтор, который большой в этом деле спец, не считал нужным меня в струнах просвещать.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Например, для исследования асимптотики размерностей неприводимых представлений больших конечных групп едва ли нужна лемма Шура.

Мне всё равно сложно представить себе такую ситуацию,
чтобы человек занимался асимптотикой размерностей
неприводимых представлений больших конечных групп,
но при этом не знал докахательств простейших утверждений
из теории представлений.
Кстати, эта деятельность (асимптотика размерностей)
как-то использует теорию представлений? Или
же это чистая комбинаторика и анализ, а ля диаграммы Юнга?


>Одна из этих работ относится также к теории струн, про которую я ни тогда ничего вообще не знал, ни сейчас ничего не знаю.

Это какая же?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Совместная с Антоном Алексеевым. В сборнике по методу орбит Кириллова (в котором я тоже ничего не понимаю. Но это случайно скорее туда попало.)

Кстати, эта деятельность (асимптотика размерностей)
как-то использует теорию представлений? Или
же это чистая комбинаторика и анализ, а ля диаграммы Юнга?

Ну как сказать "использует". Исследуемые объекты возникают в теории представлений, и потому интересны. А методы аналитические в основном, иногда комбинаторные.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>А методы аналитические в основном, иногда комбинаторные.

Это и объясняет, что в таких исследованиях лемма Шура не нужна.
В принципе, такими задачами можно заниматься, не зная теории представлений вовсе.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Да, не нужна. Да, можно. Тем не менее во всякой классификации их относят ("первично") к теории представлений, и это наверно правильно. Потому что если не теория представлений, не очень ясно, зачем вообще изучать это.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Все это верно. И ты опять подтвердил, что модули являются частью общематематической культуры. Также, как и представления.

Вообще, если рассуждать, что каждый должен учить только то, что ему нужно для работы, то на матмехе должны остаться только спецкурсы по интересам.

(Reply to this) (Parent)

Теория представлений, в основном, работает с векторными пространствами над полем. Лемма Шура традиционно доказывается для векторных пространств над комплексными числами.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Я и имел ввиду случай векторных пространств над алгебраически замкнутым полем.

(Reply to this) (Parent)

Очевидно, имеется в виду не то, что в качестве основного поля надо ьрать кольцо. Модули в теории представлений возникают над групповой алгеброй.

(Reply to this) (Parent)

К сожалению, в дискуссии о преподавании не обойтись без ссылок на экспериментальные данные -- то, что и как фоктически усваивают студенты, при этом нужно учитывать уровень студента (и учителя..)

Но, вообще говоря, каков бы курс не был, минимальное требование (сродни ненулевому
индексу цитируемости)), rule of thumb ) -- владение линейной алгеброй векторных пространств (на примерах векторных пространств). которого, кажется, таки на экзаменах не требуется...

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>которого, кажется, таки на экзаменах не требуется...

Что, даже так? Вот уж не думал, как всё запущено.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

может и ошибаюсь, Вы лучше меня знаете.

(Reply to this) (Parent)

>Вопросы возникают слишком быстро. )) Впрочем, если говорить о социальном аспекте, то представить в обозримом будущем крупный математический факультет в какой-либо стране, в котором бы не было отделения "прикладной математики", у меня не получается.

Жулики проникли повсюду! :-)

Предлагаю такое решение проблемы: отделения прикладной
математики распускаются, отделения обычной математики
переименовываются в отделения прикладной математики. Все довольны (кроме жуликов :-)

После такой реформы доля работ в области прикладной математики, имеющих приложения, не только не упадёт, но и вырастет! :-)

(Reply to this) (Parent)

>прошу прощения, через а, конечно. Я спросонья, а мазилла глупая считает, что и через о нормально.

Меньше надо пользоваться программами проверки орфографии.
Я вот не пользуюсь, и ничего.

(Reply to this) (Parent)