Спасибо за интересные замечания. А кому и что именно читает Фоменко, и на какой кафедре? Речь идет об обязательном курсе геометрии--на каком курсе?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Он заведует кафедрой "дифференциальной геометрии и приложений" (получилась при разделе кафедры геометрии. Новиков (заведовавший той единой кафедрой) утверждал, что разделили по приказу Садовничего, ибо Фоменко стал любимчиком ректора, даже его книжки по истории издавало издательство МГУ).

Читает 2 курса: "Классическая дифференциальная геометрия" и "Дифференциальная геометрия" (продолжение). Тензорные поля например определяются как набор чиселок, изменяющихся по естественному закону. Фактически набор фактов про разные тензоры, рассказ про когомологии де Рама, классификация двумерных поверхностей, общая топология, геометрия Лобачевского (как вычислять углы, длины и площади в продемонстрированных моделях) и все.

Читает математикам в 4м и 5м семестрах. Поскольку читают курс 2 разных кафедры двум разным потокам математиков, да еще и перераспределение по кафедрам (и соотв группам), то успевают немного. Мищенко (мой лектор в 5м семестре, у него общий с Фоменкой учебник) в этом году успел рассказать про двойственность Пуанкаре. Кажется, единственная геометрия, которую я обнаружил, это лемма Сарда с приложениями. Но на мой вкус это слабовато. По сравнению с годичным курсом НМУ ничего не успели. Правда, в НМУ год на год не приходится.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Ну лемма Сарда это уж совсем анализ

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Лемма Сарда — это гладкие многообразия.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Утверждение аналитическое, хотя и применяется обычно в геометрии. То, что сразу сводится к случаю карт - это не "гладкие многообразия", потому что не имеет дела с их структурой.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Доказательство (смотрим Милнор, глава 3) по большей части
геометрическое, только в последней (третьей) части
появляются какие-то оценки. Да и само утверждение,
как ты правильно подметил, по большей части используется
в многообразиях.

>То, что сразу сводится к случаю карт - это не "гладкие многообразия", потому что не имеет дела с их структурой.

Извини, но это очень странное утверждение.
Раньше было принято все утверждения из многообразий
доказывать в координатах. В книжке Новикова до сих
пор так делается. По-твоему выходит, что всё это —
не многообразия.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Многообразие локально есть евклидово пространство. Что же представляет собой локальная теория многообразий? Глобальная другое дело. Я за то, чтобы разделять. Это принципиальное различие на мой взгляд.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Многообразие локально есть евклидово пространство.
>Что же представляет собой локальная теория многообразий?

В смысле? Дифференциальные формы, векторные расслоения,
риманова метрика, связности, кривизна, кручение —
всё это можно опеределить локально. По твоему всё сначала
надо излагать в случае открытых подмножеств
векторных пространств, а затем обобщать на многообразия?

>Глобальная другое дело. Я за то, чтобы разделять. Это принципиальное различие на мой взгляд.

Не очень понял, о чём ты. В любом случае, смотри
предыдущий параграф.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Ну это все определения. Содержательные геометрические утверждения о многообразиях глобальны, локальные содержательные утверждения (например, теорема Сарда) - не про многообразия.

Но флейм на эту тему не входит в мои планы, пара десятков комментариев - и спать.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Скажем, теорию когомологий де Рама можно развить
для открытых подмножеств векторного пространства
и получить содержательные утверждения про них.
Согласно твоему утверждению, теория де Рама — не про многообразия.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

когомологии это глобальная характеристика
открытое множество важно же, какое

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Хорошо, забьём на когомологии, я тебе ниже привёл пример с Леви-Чивита.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Я правильно понимаю, что "теорема Леви-Чивита" - это существование и единственность симметричной связности, согласованной с метрикой? А это разве не очевидно вообще? Ну напишем формулы, из них выразятся однозначно символы Кристоффеля, вот тебе существование и единственность? Элементарная линейная алгебра, решение системы линйеных алгебраических уравнений. Если так, то это утверждение я бы ни к какой области математики не относил. Или имеется в виду что-то другое, более глубокое?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Я правильно понимаю, что "теорема Леви-Чивита" - это существование и единственность симметричной связности, согласованной с метрикой?

Да.

>А это разве не очевидно вообще?

Видишь ли, более-менее все широко используемые теоремы
в математике очевидны. Это из-за того, что как правило,
под эти теоремы подведены теории, которые и делают
их очевидными. Есть, конечно, и исключения, вроде
теоремы Калаби-Яо, но они редки.
Поэтому ответ на твой вопрос положительный,
но сам вопрос малосодержательный.

>Ну напишем формулы, из них выразятся однозначно символы Кристоффеля, вот тебе существование и единственность?

Если записать нормальное доказательство в координатах
(чего делать не следует), то примерно это и получится.

>Если так, то это утверждение я бы ни к какой области математики не относил.

Так и зафиксируем: Федя Петров не относит теорему
Леви-Чивиты к дифференциальной геометрии.

>Или имеется в виду что-то другое, более глубокое?

Нет, именно это и имеется ввиду.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Есть, между прочим, целая наука про то,
как строить связности, аналогичные Леви-Чивита, для других
структурных групп. Популярная с недавних пор наука
о многообразиях с тотально антисимметричным кручением
вся об этом. И работ про такие многообразия
написаны сотни.

Привет

(Reply to this) (Parent) (Thread)

А эта наука на многообразиях со струкутрами "в целом" или локально?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Дурацкий вопрос.
В начале 1990-х, возможно, имел смысл, но не сейчас,
выражение "дифференциальная геометрия в целом" вышло
из употребления лет 15 минимум

Привет

(Reply to this) (Parent)

Интересно. А есть ли какой-нибудь обзор на эту тему?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Очень хороший, но устарелый обзор
http://arxiv.org/abs/math/9908015
с тех пор, кажется, обзоров не писали.
Впрочем, точно не скажу, литературы
страшно много, особенно у физиков.

Такие дела
Миша

(Reply to this) (Parent)

И вот еще одно
http://arxiv.org/abs/0709.1231

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Спасибо!

(Reply to this) (Parent)

действительно, геометрия бывает в малом (локальная) и в целом (глобальная). но довольно странно относить к анализу геометрию в малом, например кривизну (как сказано в соседнем комменте)

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Я считаю, что "относить" следует не понятия, а утверждения. Теорема Гасса-Боннэ - пример утверждения про кривизну, которое относится к геометрии.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Теорема Леви-Чивиты содержательна в локальном случае.
Более того, её глобальная форма немедленно вытекает из локальной.
Согласно твоему критерию, эта теорема не про многообразия.

(Reply to this) (Parent)

вообще интересно, стоит ли преподавать когомологии де Рама, не рассказывая ничего про симплициальные гомологии? как инвариант многообразий можно, но зачем дальше? тот же вопрос о двойственности Пуанкаре: она сама по себе лишена смысла, если не знать, для чего все эти двойственности и какой у них геометрический смысл.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

К моменту изучения когомологий де Рама при нормальной программе
симплициальные гомологии и когомологии уже должны быть изучены.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

значит, мехматовская программа точно ненормальная) когомологии де Рама изучаются сами по себе без намеков на существование сингулярных

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Это, конечно, чудовищно.

(Reply to this) (Parent)