Из одной аксиомы выбора много не навыводишь — так что, вероятно, имеется в виду "выводимые в ZF". В контексте рассуждений об альтернативах к оной — позиция просто потрясающая. Сказали бы уж прямо (как Хелемский, например, в своём учебнике функана и предлагает): в аксиому выбора и ZF я попросту верую, а потому и рассматриваю все прочие аксиоматики под углом зрения этой своей веры. Тогда сразу было бы ясно, что все Ваши претензии к Лукашенко — обычная религиозная война, очередное выяснение, какая из бессмысленностей лучше спасает души: интеграл Данжуа или базис Гамеля.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

бесспорно, я верую в то, что у всякого поля есть алгебраическое замыкание (ибо это удобная позиция, в том смысле что можно не заботиться о решении алгебраической задачи с помощью конечных расширений, тем более что такое рассуждение и так можно провести). И он (Лукашенко) верует в равносильные этому утверждения. Так что не понимаю, какая здесь религиозная война.

Вообще-то, вы могли заметить, что мы спорим не об актуальности извращенных интегралов в преподавании, а о научности изучения неизмеримого. И уж могли бы заметить, КАКУЮ позицию я занимаю. Ваш комментарий немного не к месту. Я не веду душеспасительных споров, подобно многим своим коллегам, ибо это абсолютно бессмысленно (каждый останется при своем мнении, даже все российское математическое комьюнити не смогло переубедить в чем-либо Подольского). И прошу не пытаться сводить меня к распространенному случаю, делая безосновательные выводы.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

На самом деле спор ни о чём, поскольку для тех полей, которые
встречаются на практике, существование алгебраического расширения
доказывается без аксиомы выбора (её наиболее общей несчётной формы).
При этом класс таких полей очень щирок.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

К слову, Концевич спрашивал как-то построить явно алгебраическое замыкание конечного поля, не использующий априорного упорядочения полиномов (если я правильно понял, как-то так). По его словам, это
имело отношение к статье http://arxiv.org/abs/math/0702206
Notes on motives in finite characteristic . *Кажется*, при этом он таки произносил слова "не использующий аксиому выбора".
-

Метод, который не хочется---метод,
использующий добавление корней полиномов по порядку
(например, лексиграфическое)---по сути использующийся в
сюрреалистичных часлах Конвея...

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Что-то я не понял с числами Конвея.
Они ведь конструируются сами по себе, без
всяких присоединений корней, поэтому конструкция
мне кажется канонической. Или я не прав?

Кстати, существование алгебраического
замыкание рациональных чисел не требует
никакой аксиомы выбора, единственность
счётного алгебраического замыкания
тоже не требует никакой аксиомы выбора,
а вот единственность любого замыкания
требует довольно слабую форму — счётное
объединение конечных множеств счётно
(если я не ошибаюсь). Это обсуждалось в рассылке FoM.

Интересно, каков аналог этого факта для конечных полей?
Может, там тоже нет единственности без слабой
формы аксиомы выбора? Я уверен, что
счётные замыкания у них единственны.
Отсутствие общей единственности (если таковое
имеет место) будет говорить не в пользу
существования канонической конструкции.
Хотя кто знает.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Думаю, что аксиома выбора не нужна, и единственность следуют из наличиия какнонического порядка на поле рациональных чисел. Точно так же естественный
порядок есть и на поле из двух элементов---он "неявно" работает в конструкции Конвея. В общем случае такого единственного порядка нет---но если его выбрать,
можно построить замыкание единственным образом, т.е. по-Вашему, есть единственность у них.

Я не вспомню матиматически точной формулировки, если ее и проиводил Концевич.
Но, видимо, фраза "дано конечное поле. каконически постройте его алгебраическое замыкание" имеет формальныхй смысл.

если не путаю, такой: построить функтор Ф в алг.замкнутые поля, содержащие наше конечное поле К, из категории с объяктом К и морфизмами-автоморфизмами К, причем такой, что сужение Ф(ф) на К есть ф, для любого автоморфизма ф поля К. Впрочем, эта переформулировка носит несколько "некатегорный" характер...

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Думаю, что аксиома выбора не нужна, и единственность следуют из наличиия какнонического порядка на поле рациональных чисел.
Нужна, если мы не знаем, что алгебраическое замыкание
счётного поля счётно. Она используется там для того, чтобы
показать, что счётное объединение конечных множеств
счётно. Насколько я помню, там имеется равносильность.

>В общем случае такого единственного порядка нет---но если его выбрать,
можно построить замыкание единственным образом, т.е. по-Вашему, есть единственность у них.

Интересно. То есть для любого из p! порядков
на поле из p элементов можно канонически построить
алгебраическое замыкание?

>если не путаю, такой: построить функтор Ф в алг.замкнутые поля, содержащие наше конечное поле К, из категории с объяктом К и морфизмами-автоморфизмами К, причем такой, что сужение Ф(ф) на К есть ф, для любого автоморфизма ф поля К. Впрочем, эта переформулировка носит несколько "некатегорный" характер...

Наблюдается лёгкая проблема: единственный автоморфизм
поля из простого числа элементов тождественен.

(Reply to this) (Parent)

Кстати, вопрос: можно ли математически строго сформулировать,
что мы хотим? Просто рассуждения про добавление
корней многочленов слишком уж неформальны.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

нашел свой старый пост про это, впрочем там ничего интересного в комментариях нет
http://bbixob.livejournal.com/50403.html

аноническое конечное поле из q элементов
А есть ли каноническая конструкция конечного поля из q элементов ? Множество алгебраических чисел -- вполне определенное подмножество комплексных чисел,
со вполне определенной структурой. Или, лучше, само множество комплексных чисел. А можно ли аналогичным образом построить алгебраически замкнутое поле конечной характеристики ? По словам Концевича, вопрос как-то связан с теорией деформаций (эти автооморфизмы чем-то напоминают то ли первые, то ли нулевые (ко)гомологии..)

На филосовком семинаре в Оксфорде когда-то был доклад -- What is the phylosophical significance of complex conjugation ? It seems K. is interested in 'what is mathematical significance thereof' (well, not really.)

Ответ: есть явная конструкция Конвэя алг. замкн. поля характеристики 2.

(Reply to this) (Parent)

Кстати, для счётного замыкания рациональных
чисел каноническая конструкция существует: надо
взять любое из двух вложений алгебраических чисел в комплексные.
Что может являться аналогом комплексных чисел для
случая ненулевой характеристики?
Может здесь должны возникнуть формальные степенные ряды
от одной переменной над конечным полем или их расширение?

(Reply to this) (Parent)

> Вообще-то, вы могли заметить, что мы спорим
> не об актуальности извращенных интегралов в преподавании,
> а о научности изучения неизмеримого

Вообще-то, Вы могли бы заметить, что и я о том же. И вот как раз в этом вопросе Ваша позиция чисто религиозная: всё, что вытекает из ZF, есть истина, а всё, что вытекает из других аксиоматик, может считаться таковой лишь постольку, поскольку не противоречит ZF. Религиозна же такая позиция потому, что никаких оснований признавать истину именно за ZF, кроме голой веры, науке до сих пор отыскать не удалось. Что не так?

> все российское математическое комьюнити не смогло переубедить в чем-либо Подольского

В.Е. в роли оппонента математического сообщества? Держите меня семеро. Вы его ни с кем не путаете?

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

В принципе, спор ни о чём, посколько
утверждение об истинности ZF равносильно
существованию вполне отделимого элементарного топоса с объектом
натуральных чисел.
Так что на самом деле все теоремы в ZF следует
воспринимать так: если T — вполне отделимый
элементарный топос с объектом натуральных чисел,
то тогдка верно следующее: …
Этот факт устраняет сам предмет спора и делает всё яснее.
Кстати, веровать при этом ни во что не надо.
В частности, следует осознать, что в математике
нет никаких «аксиом»
(утверждений, принимаемых без доказательств
— глупость-то какая!), а есть определения.
В частности, у нас есть определение некоторого
объекта (теории множеств ZFC, или в современном
варианте, вполне отделимого элементарного
топоса с объектом натуральных чисел и аксиомой выбора) и для этого
объекта выполняются определённые свойства
(наличие алгебраического замыкания
у любого поля, построенного внутри этого объекта).
В частности, в математики не существует абсолютных
конструкций, всё делается относительно чего-либо.

Другое дело, что ZFC (или топосы, кому как
больше нравится) приняты настолько повсеместно,
что это принято не упоминать. И правильно, нечего
засорять тексты повторениями.

А для конструктивной математики вместо
топоса ZFC используется эффективный топос.
Вот, например, что я нашёл:
http://www.lfcs.inf.ed.ac.uk/reports/92/ECS-LFCS-92-208/
И теоремы в нём, конечно другие.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> если T — вполне отделимый
> элементарный топос с объектом натуральных чисел,
> то тогдка верно следующее: …
> Этот факт устраняет сам предмет спора и делает всё яснее.
> Кстати, веровать при этом ни во что не надо.

Кирпич можно взять и положить на стол. Конструктивное вещественное число — тоже (в виде распечатки соответствующей программы или дискеты, на которую эта программа записана). Можно положить на стол элементарный топос? Если нет — то в его существование остаётся именно веровать.

> А для конструктивной математики вместо
> топоса ZFC используется эффективный топос.

В конструктивной математике используется только то, что можно положить на стол. А то, что говорите Вы — это попытка понимания результатов конструктивной математики "классиками", к собственно конструктивной математике отношения не имеющая.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Можно положить на стол элементарный топос?

Эффективный топос можно положить на стол в виде
распечатки программы, реализующей его операции.

>В конструктивной математике используется только то, что можно положить на стол.

Для этого сначала надо определить, что такое
объект, который можно положить на стол.

(Reply to this) (Parent)