>в CP^2 значит могут быть подпространства, которые топологически --- подмногообразия,

в смысле замкнутые подпространства в топологии Зарисского?

>и часто такое бывает, есть какая-то теория про такие вещи?

ну наверняка есть, Арнольд, "особенности дифф. отображений" какие-нибудь.
У Милнора есть книжка про особенности компл. гиперповерхностей.

Вообще, касп -- он не нарушает свойства "быть топологическим подмногообразием" уже в случае вещественной картинки. Т.е., вроде бы, разумный способ построения таких примеров -- рисовать кривые (поверхности и т.п.) с каспами в вещественном пространстве и продолжать их в комплексные числа.

Сразу так не видно, как гарантировать, что при окомплексивании не добавится особенность, вещественной картинкой не улавливаемая
(типа, трансверсальная вещественной плоскости компонента, выглядящая на ней как точка на исходной кривой/поверхности).

Вспоминаются слова "локально полное пересечение", м.б. и можно сформулировать какую-то разумную теорему на сей счет (для кривых, или подмногообразий коразмерности один).

хм, "в комплексной" -- это всё же "в комплексно-аналитической"?

если да, то теорема Чжоу говорит, что в случае замкнутых разницы нет.

если не в комплексно-аналитической, а в евклидовой -- ну тогда запросто можно брать, например, проективные вещественные пространства RP^2 сидящие в CP^2 неголоморфным образом (проекция какого-попало 3-мерного вещественного подпространства в C^2, рассмотренном как 4-хмерное вещественное пространство, при отображении проективизации C^2-->CP^2)

ну да это (глобальные аргументы) в любом случае, думается, неважно, ибо вас интересует, как я понял, локальная картина, когда компл.-аналитический касп не нарушает св-во "быть топ. многообразием".

т.е. вопрос связан с классификацией ростков аналитических особенностей -- а там важны именно начальные члены разложений Тейлора соотношений, определяющих особенность. Т.е. вроде чисто алгебраическая задача, с точки зрения определяющих уравнений.

я с ошибками написал про веществ. проект. плоскости, надо

"проекция какого-попало 3-хмерного вещественного подпространства в C^3, рассмотренном как 6-мерное вещественное пространство, C^3-->CP^2"

ага, да, спасибо. смотрел её как-то.