лекции в HSE
уфф. сегодня состоялась последняя лекция (из шести) согласно моей
(черезчур) амбициозной программе. из программы осталось где-то две трети, и то
многие доказательства пришлось выкинуть. записки вот, последнюю лекцию в
потребном виде выложу на днях.

сердечная благодарность стойким слушателям, следившим практически до
конца (!) и терпевшим мои периодические затыки с угрюмым разгадыванием
доски (надо что-то с этим делать; есть эффект лестницы, у меня эффект
доски). групповую конфигурацию так и вообще промычал, извините.

скажу банальность, но после этих лекцияй я знаю о предмете гораздо
больше! докладываться о чём-нибудь вообще здорово.

кстати, заметил такую штуку в стиле программы dmitri_pavlov.
сейчас я вам расскажу, что таки изучает теория моделей.

теория моделей изучает симплициальные булевы кольца.

булево кольцо это кольцо, в котором x^2=x для всех x. в таких кольцах
происходят всякие прикольные вещи, например все конечно порождённые
идеалы в них главные, а все простые --- максимальные. ещё все поля
вычетов в них - F_2, которое единственное в своём роде булево
поле. кстати, все булевы кольца --- алгебры над F_2. спектр булева
кольца --- вполне несвязен. пример булева колца: все подмножества
какого-множества с перечением (умножение) и симметрической разностью
(сложение).

симплициальное булево кольцо это контравариантный функтор из категории
конечных множеств (включая пустое) со стрелками --- включениями, в
категорию булевых колец. в принципе можно ещё ординалы брать. если
приводить пример из теории моделей как она формализована на
сегодняшний момент, булевы кольца определимых множеств какой-то модели
определимые формулами с n свободными переменными образуют булево
кольцо, образ функтора на n, а навешивание кванторов существования
определяет морфизмы соответствующие включениям конечных
множеств. пустому множеству соответствует F_2.

да, из этого видно, что нас интерсуют только те симплициальные булевы
кольца R, в которых определены вложения R^i \times R^j \to R^{i+j}.
также, морфизмы "навешивания кванторов существования" должны
коммутировать и ассоциировать.

вообще, такое симплициальное булево кольцо на самом деле есть
теория. что такое модель теории T? это морфизм (симплициальных колец)
из T в симплициальное кольцо подмножств какого-то множества M. тут
становится понятно, какую роль играет на нулевом уровне F_2: при
отображении будет ядро у морфизма, состоящее из замкнутых формул,
которые в модели не выполняются.

типы --- это точки спектров колец на разных уровнях.

задать "язык" это задать генераторы симплициального кольца. арность
--- это на каком уровне генератор живёт. как породить "пустую" теорию при
заданном языке? не уверен на 100% насчёт деталей, но вроде ясно, что нужно
замкнуть относительно проекций и добавить декартовы произведения в
высшие уровни симплициального кольца. как? для уровня n надо очевидно
брать что-то типа свободного произведения всех декартовых произведений
R^i_1 \times ... \times R^i_k, таких, что \sum i_k = n. что такое
свободное произведение? а просто тензорное произведение. теперь надо
замкнуть относительно кванторов, снова добавить декатровы
произведения, ... Взять предел (по идее так это и происходит при
построении формул).

так вот, в пустой теории в уровне пустого множества образуется
какое-то булево кольцо. выбрать полную теорию в языке --- это выбрать
в ней максимальный идеал. Чтобы получить симплициальную алгебру
определимых множеств, надо все уровни стензорить с полем вычетов этого
идеала.

на самом деле таким же образом из теории делается теория определимых
над каким-то множеством параметров. надо выбрать тип параметров (для
простоты можно думать про конечный набор элементов), сдвинуть градуировку
чтоб он оказался в нулевом уровне и стензорить все уровни с его полем
вычетов.

В этом формализме естественно выписывается построение насыщенных
моделей итд. Однако хочется надеяться, что можно будет про них забыть,
как про страшный вейлевский сон, и всё писать только в терминах
симплициальных колец/спектров. Если, конечно, с этим не будет много мороки.

Такой вот бурбакизм.

upd (7/1/2014): про симплициальные булевы кольца я конечно проврался.
то есть навешивание квантора существования это конечно не гомоморфизм
булевых колец, максимум гомоморфизм мультипликативных групп.
однако "degeneracy maps" таки настоящие морфизмы колец, поэтому всё остальное
сказанное выше остаётся верным.

наверное(?) можно как-то всё-таки не в лоб рассматривать спектры как
симплициальные множества. во всяком случае я надеюсь.