Войти в систему

Home
    - Создать дневник
    - Написать в дневник
       - Подробный режим

LJ.Rossia.org
    - Новости сайта
    - Общие настройки
    - Sitemap
    - Оплата
    - ljr-fif

Редактировать...
    - Настройки
    - Список друзей
    - Дневник
    - Картинки
    - Пароль
    - Вид дневника

Сообщества

Настроить S2

Помощь
    - Забыли пароль?
    - FAQ
    - Тех. поддержка



Пишет maniga ([info]maniga)
@ 2014-01-14 15:05:00
Previous Entry  Add to memories!  Tell a Friend!  Next Entry
Entry tags:shu xue

вопрос про алгебраические группы
вот кстати. в который раз уже вляпываюсь: есть факт, который абсолютно
банален для алгебраических групп над C, в силу существования экспоненты,
а стоит задаться вопросом, что бывает для вообще алгебраических групп
(в т. ч. в положительной характеристике) --- вообще неясно, куда глядеть.

Пусть у нас алгебраическая группа G и в ней неприводимое замкнутое
подножество Z, причём касательное пространство Z постоянно как
подпространство алегебры Ли G, и является подалгеброй Ли. Утверждение: тогда
Z это класс смежности по замкнутой подгруппе. Поле, наверное, для простоты
пусть будет алгебраически замкнутым.

Это вообще верно в положительной характеристике?


(Добавить комментарий)


[info]kaledin
2014-01-14 18:06 (ссылка)
Нет. Например фробениус-окрестность единицы.

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


[info]maniga
2014-01-14 18:45 (ссылка)
на Z предполагается структура приведённой подсхемы.

ну и кстати, что тут такого специфического для положительной
характеристики? если можно брать неприведённые подсхемы,
можно было бы рассмотреть infinitesimal thickening единицы
(или любой точки) в какой угодно характеристике.

или я что-то не так понял?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2014-01-15 04:37 (ссылка)
Да ничего, небось; я просто на автомате привожу это в качестве контрпримера ко всему; обычно годится.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]maxmornev
2014-01-14 21:23 (ссылка)
Ответа на общий вопрос я не знаю, но зато знаю вот что: если G --- абелево мн-е
и dim Z <= 2, то твое утверждение верно в любой характеристике.

Если dim Z = 1, то все просто: касательное расслоение у Z тривиально, и значит
это кривая рода 1.

Если dim Z = 2, то рассуждение такое. У Z тривиальное касательное расслоение.
Значит каноническое расслоение тривиально, и h^{1,0} = 2. Кроме того, Z не имеет
рациональных кривых, поскольку G их не имеет. В положительной характеристике,
как и в характеристике 0, из этого следует, что Z --- абелева поверхность.
См [Liedtke], раздел 7.1.

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


[info]maxmornev
2014-01-14 21:24 (ссылка)
Как использовать условие, что касательное пр-во ---
подалгебра, я не знаю.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]maniga
2014-01-14 21:26 (ссылка)
в случае абелевых многообразий это автоматически верно.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]maxmornev
2014-01-14 21:30 (ссылка)
А почему? Я могу представить рассуждение
с использованием многообразий Альбанезе
(кажется, там и тривиальность касательного
расслоения не нужна, нужно только, чтобы
оно было правильной размерности).

(Ответить) (Уровень выше)


[info]maxmornev
2014-01-14 21:32 (ссылка)
Тысяча извинений, я не про то (ты про подалгебру Ли,
а я про dim Z > 2).

Я имею ввиду, что кажется придумал, как это в общем
случае забороть.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]maxmornev
2014-01-14 22:07 (ссылка)
Ага, добил для случая абелевых многообразий.
Рассуждение вот какое.

Пусть G абелево, Z --- произвольное подмногообразие G.
Раз G абелево, то вложение Z -> G факторизуется
через Alb Z. Действительно, Alb это функтор, что дает
нам коммутативную диаграмму:

Alb Z ---> Alb G
 ^           ^
 |           |
 Z    --->   G

Правая стрелка это изоморфизм, потому что G абелево.
Нижняя стрелка это вложение. Значит, левая стрелка
должна быть вложением. В частности, dim Z <=
dim Alb Z. С другой стороны, dim Alb Z <= h^{1,0}(Z).
В положительной характеристике это неравенство
может быть строгим.

Но если мы предположим, что Z гладкое, и касательное
расслоение Z тривиально, то dim Z = h^{1,0}(Z), откуда
Z = Alb Z.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]maxmornev
2014-01-14 22:13 (ссылка)
Ага, попался: нужно доказать, что Alb Z is reduced.
Так что, пока рассуждение еще не готово.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]maniga
2014-01-14 22:56 (ссылка)
а как альбанезе определяется алгебраически? оно может быть не приведённым?!

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]maxmornev
2014-01-14 23:22 (ссылка)
Это хороший вопрос, да. Я думал, вслед Википедии, что Альбанезе это
всегда двойственное к Pic^0, но люди на MO утверждают, что это не так:

http://mathoverflow.net/questions/127809/albanese-dual-to-the-picard-scheme

(Ответить) (Уровень выше)


[info]maxmornev
2014-01-14 23:36 (ссылка)
Ага, там на MO дают ссылку на лекции Мочизуки.
В этих лекциях есть proposition A.6., которое
(в твоих обозначениях) утверждает, что если X
is an integral normal complete scheme over a prefect field,
то так и определяется, как я написал.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]maxmornev
2014-01-14 23:36 (ссылка)
пардон, кусок ``(в твоих обозначениях)'' --- лишний.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]maxmornev
2014-01-14 23:37 (ссылка)
scheme -> scheme of finite type, конечно.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]maxmornev
2014-01-14 23:59 (ссылка)
Тьфу. ``Complete'' подразумевает ``of finite type''.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]maxmornev
2014-01-15 00:05 (ссылка)
Неприведенным, он, похоже, может быть. По крайней
мере общее определение этого не запрещает. Над
полем оно такое: морфизм Альбанезе --- это
универсальная стрелка из данной схемы с отмеченной
точкой в подкатегорию коммутативных группсхем
конечного типа над базовым полем.

В положительной характеристике бывают non-reduced
group schemes. В нулевой не бывает, это старый
результат Картье.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]maniga
2014-01-15 00:19 (ссылка)
ок

кстати, подумалось. определение не запрещает рассматривать
что-то негладкое, непроективное. якобиан (обобщённый) можно в принципе для любой такой кривой построить. а альбанезе?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]maxmornev
2014-01-15 00:24 (ссылка)
Corollary A.11 у Мочизуки утверждает, что Альбанезе можно построить для
любого многообразия с отмеченной точкой. (многообразие = integral separated
scheme of finite type over a perfect field). Причем, Альбанезе будет коммутативной
группсхемой.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]maniga
2014-01-15 00:44 (ссылка)
в принципе тогда есть надежда, что для полуабелевых Альбанезе это оно само. тогда твой аргумент распространяется на полуабелевы многообразия.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]maxmornev
2014-01-15 02:22 (ссылка)
Похоже есть, да. Надо очень аккуратно прочесать
Мочизуки и Лидтке, т.к. я по дороге кучу нетривиальных
результатов использовал.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]maxmornev
2014-01-16 08:09 (ссылка)
Что нужно было сказать, но я забыл: да, есть определение
Альбанезе, при котором берется универсальная стрелка
в подкатегорию полуабелевых многообразий
(см. Мочизуки). Но про это определение мне не известно
ничего, в частности, не ясно как доказывать
существование. Обычная конструкция через Pic^0(
Pic^0_red) не работает вот почему.

Pic^0 умеет быть не-абелевым многообразием. Но чтобы
это случилось, нужно, чтобы исходное многообразие
было особым. Если же исходное многообразие гладкое,
то редукция Pic^0 всегда будет абелевым.
В положительной характеристике Pic^0 может быть
nonreduced.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]maxmornev
2014-01-15 01:43 (ссылка)
О, таки разобрался. Рассуждение работает as is. Давай я разверну детали,
чтобы убедиться, что нигде не налажал.

Мы работаем над алгебраически замкнутым полем. Будем предполагать,
что Z регулярна.

Верны равенства:

1
2
b1(Z) = dim Alb Z = dim Pic0 Z

([Liedtke], section 3.3).

Определим числа Ходжа hp,q как обычно:

hp,q(Z) = Hq(Z, Ω
p
Z
).

Верны неравенства

1
2
b1(Z) ⩽ h0,1(Z),
1
2
b1(Z) ⩽ h1,0(Z)

([Liedtke], section 3.3, section 3.4; второе неравенство это крутой результат
Игусы).

Рассмотрим коммутативную диаграмму из предыдущего коммента. Из нее
заключаем, что

dim Z ⩽ dim Alb Z.

Если касательное расслоение Z тривиально, то dim Z = h1,0(Z). Тогда

h1,0(Z) = dim Z ⩽ dim Alb Z =
1
2
b1(Z) ⩽ h1,0(Z).

Следовательно, dim Z = dim Alb Z. Поскольку Z приведено, оно является
редукцией Alb Z, и значит, имеет структуру абелева многообразия.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]maxmornev
2014-01-15 02:08 (ссылка)
Два замечания:

1. Поскольку касательное расслоение Z тривиально,
многообразие Z автоматически регулярно.

2. Alb Z is reduced по крайней мере тогда, когда Z
регулярно. Так что про проблемы с non-reducedness
можно забыть.

Дело тут вот в чем. Alb Z = Pic^0( (Pic^0 Z)_red ).
(Pic^0 Z)_red is an abelian variety by construction.
Благодаря Мамфорду, известно, что Pic^0 от
абелева многообразия всегда reduced.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]maniga
2014-02-03 19:13 (ссылка)
вот кстати, slightly related:

http://mathoverflow.net/questions/25256/is-there-an-intrinsic-way-to-define-the-group-law-on-abelian-varieties

(Ответить) (Уровень выше)


[info]maxmornev
2014-01-15 02:17 (ссылка)
> в случае абелевых многообразий это автоматически верно.

Это потому что коммутатор зануляется?
Или я савсем кирдык башка отпал?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]maniga
2014-01-15 02:51 (ссылка)
не понял, о чём ты.

у коммутативных алгебраических многообразий многообразий
алгебра Ли абелева (скобка трививальная).

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]maxmornev
2014-01-15 02:58 (ссылка)
Ага, я об этом самом как раз, что скобка тривиальная.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]maniga
2014-01-15 02:59 (ссылка)
> у коммутативных алгебраических многообразий многообразий

групп, конечн

(Ответить) (Уровень выше)


[info]maniga
2014-01-14 21:35 (ссылка)
если этого не потребовать, то не будет касающегося соответствующего левоинвариантного векторного поля подмногообразия (теорема Фробениуса).

(Ответить) (Уровень выше)


[info]maniga
2014-01-14 21:29 (ссылка)
ну да. мне это вообще надо для одного небольшого набора случаев, и я уже засучил рукава и решил доказать перебором (кроме абелева многообразия ещё надо для G=G_a \times G_a и G=G_m \times G_m).

я думал может есть какие-то общие соображения.

(Ответить) (Уровень выше)