Если эта деятельность выживет лет 100-200, она, наверное, приобретет адекватное название. Это действительно не вполне science, но я бы не сводил ее к уровню scholarship. Математика - не вполне наука, философия - на полпути от науки к религии, согласно Расселлу.

Хорошее описание этой деятельности есть в интервью Манина Троицкому Варианту 13N. Он относится к ней более чем восторженно, но при этом складывается такая картина: в основе этой деятельности лежит не "физичекая интуиция", а "интуиция фейнмановских интегралов"; результатом являются математические идеи, обычно довольно быстро доводимые до математических стандартов. Сам интеграл Фейнмана упорно не доводится, мешая превратить эту деятельность в просто математику. Мне кажется сомнительным, что деятельность, основанная на одном приеме, и, в сущности, определяемая как его применение, может существовать долго.

Это ужасно интересно -- до какой степени эта деятельность есть продолжение физики и до какой -- просто возня с функциональным интегралом. Например, если дело сводится к тому, что пользуясь идеей функционального интеграла, можно получать математически осмысленные выводы и верные гипотезы, то почему эту деятельность до сих пор не освоили люди с чисто математическим бекграундом? С другой стороны, если такой процесс производства математических идей упирается в фигуру Виттена, то нет ничего особенно удивительного, если один человек, пусть даже и выдающийся, построил свою карьеру на одном приеме. Который прием он освоил лучше всех остальных, и из которого он сам же и извлечет в основном все, что можно из него извлечь. Деятельность же в целом может быть при этом гораздо шире.

Это действительно интересно. Мне кажется, что только возня с интегралом Фейнмана. Реально, все интересное идет от Виттена, и это один этот прием. Конечно, мне не следует делать слишком категорические утверждения, я недостаточно хорошо знаю предмет. Но Манин, несомненно, знает очень хорошо.

"Например, если дело сводится к тому, что пользуясь идеей функционального интеграла, можно получать математически осмысленные выводы и верные гипотезы, то почему эту деятельность до сих пор не освоили люди с чисто математическим бекграундом?"

Возможно, проблема в коммуникации. Нет изложения, доступного математикам. Математик может жить без конструкции интеграла Фейнмана, если ему четко скажут, как с ним обращаться.

Другой вариант - никакого интеграла Фейнмана в природе нет, есть несколько разрозненных приемов его вычисления, и все аналогичные приемы скоро будут исчерпаны.

Еще один вариант состоит в том, что фейнмановский интеграл имеет смысл, но не как величина, сопоставляемая формуле, которая выписывается как его подынтегральное выражение, а как величина, сопоставляемая некой гораздо более богатой информации, с которой ассоциируется в сознании физика эта формула, но которую он формализовать не может.

Вероято, так и есть. Отсюда и проблема коммуникации. С другой стороны, это просто другой (лучше, чем мой) способ сказать, что интеграла Фейнмана нет - есть разные ситуации, с разной скрытой физической информацией, которые в силу исторических обстоятельств доходят до нас (математиков) в этой упаковке.

Ну, Виттен -- далеко не единственный. Из тех, у кого всерьез получается делать математические предсказания. Выросло новое поколение полуфизиков-полуматематиков, Капустин, например. Про манипулирование с оным интегралом. Я думаю, пока что всё упирается в то, что в математике плохо разработана бесконечномерная геометрия, функциональный интеграл -- это подлежащая комбинаторика. Как мы с тобой уже обсуждали -- бесконечномерных пространств без структуры не сусществует. Соответственно, я бы ожидал, что Фейнмановский интеграл формализуется в тот момент, когда геометрия (а не топология) пространств путей и петель, да и вообще отображений, алгебраизуется в достаточной степени. Пока что, насколько я понимаю, даже в самых простых примерах (алгебро-геометрические аналоги пространства петель со значением в аффинном многообразии), геометрии, то есть теории пучков и пр., практически нет, то, что есть у Дениса в частных случаях -- это искусственные конструкции, использующие комплексню кривую, куда вложена окружность. А 20 лет назад не было и этого, и Б.Ф. рассуждал, что в аффинном пространстфе флагов есть клетки конечной размерности, есть клетки ко-конечной размерности, но есть еще и полубесконечные клетки. На самом деле, речь идет про три разных многообразия флагов.

Я, безусловно, имею довольно смутное представление о том, как работают математики. Но, насколько понимаю, длительные безуспешные попытки доказать какое-то утверждение и придать ему более строгий статус могут быть очень плодотворными. Нет ли каких-то глубоких математических причин, по которым фейнмановский интеграл упорно не доводится до математических стандартов?

Эйлер обращался с расходящимися рядами как повар с картошкой и не заботился о строгих определениях производной и интеграла (как понимаю, тогда сами стандарты строгости были совершенно другими). Потом во всем навели относительный порядок. Результат - более глубокое понимание анализа. Люди пытались доказать постулат о параллельных, потом поняли, что он независим от остальных. Результат - более глубокое понимание геометрии.

А были случаи, когда некий прием, пусть даже как личный прием великого человека, работал десятилетиями, наводя на новые осмысленные идеи, но в нормальную математику его включить так и не удалось?

Безуспешные попытки, в течение сотен лет, доказать некое утверждения бывали плодотворны. А вот наведение строгости - вряд ли есть такие примеры. Когда начинает ощущаться потребность в строгости, она сравнительно быстро наводится. Скажем, строгость в анализе появилась из-за нужд теории рядов Фурье. Причем результат - не радикально новые идеи, а аккуратная запись старых (теория вещественных чисел, окончательно оформившая "строгий" анализ - это не более чем вариант древнегреческой теории пропорций).

Определения производной и интеграла, которыми пользовался Эйлер, не хуже наших, а в чем-то и лучше (для преподавания, наверное, лучше). С расходящимися рядами Эйлер обращался очень аккуратно, прекрасно понимая, что результат типа 1+2+3+4+5+...=-1/12 - это следствие специального определения, данного левой части.

Аналогия с Эйлером не нова. Можно предположить, что физики угадывают формулы, подобные предыдущей, не умея сообщить математикам то специальное определение, которым они пользуются. С другой стороны, для той же суммы можно мотивировать и ответ 1/6 (не говоря уж о бесконечности). Так что у расходящегося ряда все-таки нет суммы без спецификации способа определения. Я бы предположил, что физики выбирают специфическое значение интеграла Фейнмана, исходя из физических соображений. Математики, узнав ответ, вроде бы всегда могут дать математическое определение, дающее тот же ответ. Речь идет не обязательно о числе; чаще о конструкции, обладающей определенными свойствами: физики отбирают свойства формул, важные в какой-то ситуации, математики стоят для данного случая объект с теми же свойствами.

Так что мне кажется, что никакого математического интеграла Фейнмана никогда не будет, как не будет и единого определения суммы расходящегося ряда.

Тогда, мне кажется, вопрос такой - являются ли размышления о том, чего не хватает в интуитивном физическом определении фейнмановского интеграла, плодотворным для математики? Единого определения суммы расходящегося ряда нет, но есть ведь достаточно богатая наука вокруг разных способов такого определения? Скажем, в физике часто используется суммирование по Борелю (поэтому я про него и знаю, даже сам пользовался однажды). Возможна ли в принципе такая же математическая надстройка над path integrals? Если да, тогда, казалось бы, это - раздел математики, только незавершенный. Математика в процессе становления. Нет?

Еще один вариант состоит в том, что фейнмановский интеграл имеет смысл, но не как величина, сопоставляемая формуле, которая выписывается как его подынтегральное выражение, а как величина, сопоставляемая некой гораздо более богатой информации, с которой ассоциируется в сознании физика эта формула, но которую он формализовать не может.

Мне очень понравилась эта формулировка posic@lj выше. Я думаю, что эта более богатая информация каждый раз своя. А интеграл Фейнмана, красивая формула, ее маскирует.

Развивая аналогию с Эйлером, если мы хотим вычислить 1+2+3+4+5+..., то мы можем это сделать только имея более богатую информацию о том, зачем нам это надо (или что это такое). Некие "математические соображения". Формула 1+2+3+4+5+... маскирует их. Аналогично, я подозреваю, что формула Фейнмана маскирует физические соображения.

Некоторые статьи Виттена непосредственно доступны математикам, без переводчиков. Я читал немного. В них он не ограничивается формальным интегралом Фейнмана, а приводит и много других соображений, ведущих к его утверждениям.

Серьезная наука о суммировании расходящихся рядов была и потом потеряла актуальность. Эйлеру она была не нужна. Потом навели "строгость", и по новым опредeлениям всякие интересные ряды оказались просто расходящимися. Потребовалось время, чтобы заново научиться их интересно суммировать; суммирование по Борелю - один из методов. Уже давно в этом предмете нет никакой тайны, а в современной математике реально нет и разговора о суммировании расходящихся рядов - математики обсуждают непосредственно математические соображения, стоящие за суммой. Так что -1/12 - это ζ(-1), а не 1+2+3+4+5+... Здесь ζ(z) - это аналитическое продолжение тривиально суммируемого при Re z > 1 ряда, простейший пример L-функции, whatever this means.

Да, про дзета-функцию я знаю. И даже про L-функции слышал. Если продолжить аналогию, это означает, что существует другой математический объект (или класс объектов), несовершенным выражением которого являются нынешние фейнмановские интегралы. Являются ли размышления в этом направлении интересным и перспективным математическим занятием или нет? Мой вопрос был об этом. Сразу скажу - ответа на вопрос, являются ли они интересным и перспективным занятием для физики, я не знаю.

Математика (чистая), в определенном смысле, неактуальная наука. Ни в каком смысле, кроме карьерного для данного человека, неважно, когда решат ту или иную задачу. Поэтому если есть потециально интересный повод для размышлений, то почему бы и не поразмышлять? В худшем случае ничего не получится, но так это обычное состояние математика - задача не получается.

Насколько перспективны попытки найти структуру, стоящую за интегралом Фейнмана, мне сказать трудно. На самом деле, я главного не знаю: как обстоит дело в физике. Является ли интеграл Фейнмана воплощением одной физической идеи, или каждый раз другой? Если одной, то, наверное, рано или поздно математики ее поймут и превратят в нечто абстрактное. Если применение интеграла Фейнмана каждый раз требует дополнительных физических соображений, то, наверное, никакой особой структуры нет.

Наблюдая за математикой, я склоняюсь к второму варианту. Способы превратить "предсказанные" физиками утверждения в математические теоремы настолько разные, что трудно себе представить, что за ними стоит единый принцип.