прикольный аргументы кстати для доказательства теоремы Лиувилля на решетке

Вот кстати, пусть у нас есть решетка Z^2, любая ограниченная гармоническая функция на ней -- константа.
Гармоническая функция значит, что значение в точке -- среднее арифметическое значений у 4 соседей.

док-во:

рассмотрим пространство ограниченных функций на Z^2 L^\infty и два оператора сдвига (вправо и вверх) на нем
R и T


на L^\infty есть *-слабая топология (оно двойственно к пространству всех суммируемых функций), которая совпадает с топологией поточеченой сходимости,
и по теореме Банаха-Алаоглу замкнутый шар *-компактен.
условие гармоничности это просто f=0.25(R(f)+T(f)+R^-1(f)+T^-1(f)) и так как сдвиги непрерывные операторы, множество гармонических функций замкнуто.
Возьмем пересечение единичного замкнутого шара и множества всех гармонических функций.
это *-компактное выпуклое множество. обозначим его A.

напомню, что экстремальная точка выпуклого множества это такая, которая не лежит на отрезке, соединяющем две точки множества. экстремальные точки A -- постоянные функции:
если f\in A, то R(f), T(f), R^-1(f), T^-1(f)\in A и значит
f=0.25(R(f)+T(f)+R^-1(f)+T^-1(f)) тривиальная выпуклая комбинация (по экстремальности), т.е.
f=R(f)=T(f)

теорема Крейна-Мильмана говорит, что в нашей ситуации: выпуклое компактное множество в (хаусдорфовом локально выпуклом топологическом) векторном пространстве является замыканием выпуклой оболочки своих экстремальных точек.
то есть любая функция из A является пределом линейных комбинаций констант, то есть константой.