| Ко-Ко-Ко-Алгебры |
[Oct. 6th, 2019|02:18 am] |
| [ | Current Mood |
| |  awake | ] |
| [ | Current Music |
| | Ritual Howls – Turkish Leather | ] |
Чтобы разобраться с алгебрами Хопфа вначале нужно разобраться с тем, что такое коалгебры. Сер называл коалгебры когебрами, а алгебры и когебры вместе просто гебрами. Но я буду писать долго и занудно — коалгебра. Это лучше передает дух этой теории.
Коалгебра это модуль с двумя дополнительными операциям. Первая операция, которая называется коумножением, это "разбиение" элемента на разные пары. Элементы каждой пары тензорно перемножаются, а потом все эти тензоры складываются. Для того, чтобы записывать эту охуенную сумму, зная только обозначение элемента, к которому применялось коумножение, придумана охуенная нотация Свидлера. Второй оператор, это коединица. Коеденица отображает элементы в скаляры, и мне нравится думать о ней, как о своеобразном взвешивании. Свойства этих операций получаются из обращения стрелок в коммутативных диаграммах, описывающих свойства операции бинарного умножения и умножения единичного элемента на скаляр соответственно у обычных алгебр. Отсюда и название — коалгебра. Эти свойства сводятся к тому, что если разбить элемент, а потом разбить правые части тензоров, то получится тоже самое, что если разбить левые (коассоциативность). И что если разбить элемент, а потом сложить правые части взвешенные левыми (или наоборот, левые правыми), то он восстановится (коунитальность).
Можно найти статьи, посвященные коалгебрам над произвольными кольцами. Однако, большинство вещей, о которых я хотел бы рассказывать в дальнейшем верно только над полями. Поэтому будем считать, что все коалгебры дальше в этом посте будут векторными пространствами.
На любом векторном пространстве с выбранным базисом, можно тривиально задать структуру коалгебры. Задать коумножени можно тензорным умножением базисных элементов на самих себя, а коединицу их отоброжением в еденицу. Другим, уже нетривиальным, примером колгебры служат многочелены, где коумножение элемента определеной степени устроенно как применение биномиальное разложения той же степени только с тензорным умножением. Чтобы, полученная структура была коалгеброй нужно, чтобы коединица отображала все ондочлены, кроме свободного члена в ноль. Еще есть коалгебра на векторном пространстве натянутой на интервалы локально конечного упорядоченного множества. В этой коалгебре коумножение разбивает интервал на все непересекающиеся пары интервалов, которые получаются из исходного удалением одной точки. Коединиц в такой коалгебре взвешивает все интервалы нулем, а пустое множество единицей.
Не сложно заметить, что двойственное к коалгебре пространство имеет естественную структуру алгебры. В ней произведение функционалов действует на элемент исходной алгебры путем действия тензорного произведения этих функционалов на разбиение элемента коумноженим. А единичным элементом в этом случае будет сама коединица. А правда ли, что двойственное к алгебре пространство всегда будет коалгеброй с естественной (то есть задаваемой транспонированием умножения) структурой? Оказывается, что это верно только если исходная алгебра конечномерна. Дело в том, что результат применения транспонированного умножения к функционалу может не быть тензором, если пространство не конечномерно. Однако, так называемое, конечное двойственное пространство всегда будет коалгеброй с такой структурой. Конечное двойственное пространство, это пространство фунционалов, в ядре которых содержится идеал факторизация пространства по которому будет конечномерной. Проще думать, о разбиение в такой коалгебре ка о тензоре вычесления на произведеине, а о коеденице как о вычисление функционала на произведение. Интересно, что у алгебры полиномов конечным двойственным оказывается множество линейно-рекурсивных последовательностей. Вот и связь с комбинаторикой.
Еще бывают коидеалы. Коидеал это подмодуль, где разбиение каждого элемента можно представить в виде суммы, где у каждого слогаемого либо правый, либо левый множитель лежит в самом коидеале. Очень хотелось бы, чтобы факторизация коалгебры по идеалу сама будет коалгеброй. Поэтому также требуется, что коединица на нем занулялась. Как и идеалы, коиделы бывают левыми и правыми, причем они не обязаны быть не теми, не другими, прямо как я. В дальнейшем я буду возвращаться к ним снова и снова, и я надесь мы разберемся с ними поподробней. |
|
|
![[info]](http://lj.rossia.org/img/userinfo.gif){kind=small}