[	Current Mood	|	nervous	]
[	Current Music	|	Miles Davis - Filles de Kilimanjaro	]

Affine Sets and Affine Groups
D. G. Northcott
1980

Изучая алгебраическую геометрию, я преследую две цели. Я хочу рпзобраться в различных топологиях Гротендика, которая может возникать на схемах, например Зариского, Этальная, fppf. В том числе хочу понять ее интуитивный смысл. И разобраться с тем, каков внутренний язык соответствующих топосов и как они все связаны. Второй вопрос я сформировал уже при чтении этой книги. Грубо говоря, я понял, что не понимаю, почему Гротондик запихал простые идеалы в спектр Зариского. И я считаю что с этим вопросом нужно разобраться. В принципе — эта книга не отвечает не на один из этих вопросов. Поэтому не понятно нахуя ее читать. Но если бы я ее не начал читать, то эта книга меня бы мучала. Я решил, что с нее можно начать для разгона. Тут нет теории категорий. И на мои деньги тут нет геометрических идей. Только чистая алгебра и общая топология. Я бы не хотел бы фокусироваться на анализе конкретных кривых и поверхностей малой размерности. Или на проектинвной алгебраической геометрии. Поэтому эта обезжиренность меня во многом и подкупила.

То что я заметил тут необычного, так это то, что определяя афинное алгебраическое множество над полем k Норскотт использует так называемые «рациональные идеалы», то есть максимальные идеалы, фактор по которым — это поле k. Это у него собственно точки афинных алгебраических множеств. А потом он определяет радикал идеала как пересечение рациональных идеалов, содержащих данный. И радикальный идеал — это идеал равный своему идеалу. Радикальные идеалы соответсвуют открытым или замкнутым множествам. Это определение удобно, потому что для любого бесконечного поля афинная прямая, то есть многообразие соответствующее . Вначале, я очень возмутился и подумал, что это какое-то наеболово. Потому что в спектре Зариского в качестве точек должны быть простые идеалы. Потом я начал смотреть Харсхорна и понял, что в первой главе он тоже не пишет про спектр Зариского, а пишет про все те же аффинные алгебраисчкие множества. Основное отличие в том, что Хартсхорн работает над алгебраически замкнутом поле и в качестве точек использует максимальные идеалы. Грубо говоря, теорема Гильберта о нулях говорит нам, что над агебраически замкнутым полем все максимальные иделы рацианальны. И Хартсхорн довольно активно пользуется разной коммутативной алгеброй и в том числе теоремой Гильберта о нулях. И тогда я понял, что то что деалет Норкотт — это то, что Эрик Вайнштейн называл словом «технический долг». Потому что в первой часть своей книги он почти не пользуется коммутативной алгеброй. Все само вылазит из определений. И Эрик Вайнштейну нужн учиться и учиться у Норскотта брать технический долг, зашивая его в свои определения. Потому что если следовать пути Норскотта, то вся сложная коммутативная аогебра будет на стороне того, кто захочет применить его алгебраическую геометрию к конкретному полю. И ему придется выяснять, как у него в поле устроены рациональные идеалы, если оно алгебраически не замкнуто.

О чем собственно алгебраическая геометрия? На уровне этой книги — это изучение аффинных алгебраических множеств. Для Норскотта все такие множества — это частный случай того, что он называет алгебрами функций (вычислиямых в поле), структуры состоящей из множества точек, и кольца вычисляемых на нем функций. Когда для такой структуры выполняется рад хороших свойств (конечно-поражленность, не избыточность) — она называется аффинным алгебраическим множеством. Грубо говоря, эти множества хороши тем, что на них можно залать связность Галуа между множествами точек и множествами функций. Замкнутыми объектами на стороне функций будут радикальные идеалы, а на стороне точек собственно замкнутые множества в топологии Зариского. То есть между ними будет биекция. О топологии Зариского полезно думать с вычислительной точки зрения, о чем я писал пару математических постов назад. Множество открыто или замкнуто если принадлежность к нему данной можно проверить вычислением конечного числа полиномов. Алгебра функций алгебраического множества называется координатным кольцом. Все свойства и отношения алгебраического множества сводятся к свойсттвам их координатных колец. Поэтому категория аффинных алгебраических множеств эквивалентна обратной к подкатегории алгебр, категории аффинных алгебр. Так там определены морфизмы.

Мне это определение очень напонмнило то как Викерс в своей книжке определял топологическую систему. Для Викерса топологическое пространство или локаль — это хорошо сбалансированная топологическая система. Я подумал, что можно было бы определить геометрическую систему, если добавит к топологической системе координатное кольцо. Формальное Координатное кольцо — это просто ассоциативное кольцо, наверное с единицей, и еще две функции. Первая функция отображает каждую формальную точку в идеал "зануляющихся функций" на точке (скорее всего двусторонний, но не обязательно максимальный). А также функцию, которая сопоставляет каждому элементу кольца формальное открытое ко-нулевое (сozero open). В такой геометрической системе должно существовать усовие разделение нулей и конулей, что типа если точка зануляет элемент кольца, то она не может быть моделью его ко-нулевого открытого. Но это условие можно сделать более нестрогим чем для настоящих алгебр функций! То есть можно представить, что функция в точки либо зануляется, либо не зануляется, либо принимает бесконечно-малое значение и тогда проверить ноль она или не ноль не возможно за конечное вычислительное время. Также в этой конструкции можно не требовать от кольца коммутативности или какой-то определенной вычислимости со значением в поле. Поэтому эту конструкцию можно использовать в некоммутотивной гометрии. Также жизнь учит брать не просто кольцо, а пучок колец на локали формальных открытых. Тогда глобальное сечение этого пучка будет координатным кольцом в традиционном смысле. А дальше как использовать свойства этого координатного пучка как пучка должно зависить от контекста. В такое определение укладывается почти вся геометрия: алгебраическая, дифференциальная и не-коммутативная. Нужно только правильно формулировать свойства координатного пучка.

Но вернемся к элементарной алгебраической геометрии. Из требования конечной поражденности вытекает нетеровость координатного кольцо (теорема Гильберта о базисе). А из нетеровости вытекает то, что любое аффинное алгебраическое множество состоит из конечного числа неприводимых замкнутых множеств. Неприводимым замкнутым множеством называется такое, которое нельзя представить в форме нетривиального объединения двух других. А закнутые множества — это ровным счетом подъобекты в соответствующей категории. То есть любое «многообразие« разбивается на конечное число максимальных « неприводимых многообразий». Оказывается, что неприводимые замкнутые множества соответствует простым идеалам координатного кольца. То есть если очень грубо говорит простые идеалы — это настояшие геометрические примитивы. Интересно эту идею применить к кольцам, которые не являются аффинными алгебрами. Более того, оказывается что «многообразие» неприводимо, если его координатная алгебра является целостным кольцом. Это позволяет для таких неприводимых конструкций построить поле рациональных функций. Потом, грубо говоря, посчитав число переменных в этом поле над исходным можно определить размерность «многообразия». Также Норскотт уделяет внимание расширению полей Интересно, что у каждого такого аффинного многообразие есть «продолжение» в любое расширение исходного поля, не важно алгебраическое или нет. И исходное пространство в это продолжение плотно вкладывается, и у продолжения та же размерность, но над новым полем. То есть получается, что действительные числа плотны в комплексных, если их расматривать с топологией Зариского.

Все эти результаты выше получаются почти бесплатно из определений. Определенные сложности начинаются в конце третей главы, котгда Норскотт доказывает факты из теории размерности, связанные с эпиморфизмами. Тут уже не получается запихнуть весь технический долг в определения. И приходится действовать более грубо, а именно ссылаться на факты из других книг о коммутативной алгебре. В первую очередь это теорема Нетер о нормализации и другие смежные факты. Это не очень сложная теорема, но я решил, что это хороший повод прерваться c этой и пойти почитать что-нибудь по коммутивной алгебре.

Но перед тем как закончить этот пост. Я хотел бы дать предварительный ответ на свой вопрос про спектр Зарисского. То есть мне понятно, что точки в спектре Зарисского это в определенном смысле формальные точки, делающие эту топологическую систему локалической, то есть булево-значные функционалы в категории локалей. И потом оказывается что они соответствуют простым идеалам. Но я не уверен, что этот ответ удовлетворительный, потому что это не объясняет, почему формальные точки соостветствуют геометрическим примитивам.

[	Current Mood	|	contemplative	]
[	Current Music	|	Обсуждаем политфическую философию Джона Локка с историками философии и ‪@Whalesplaining‬	]

Stone Spaces By Peter Johnstone

Я все таки решил закончить изучать эту замечательную книжку Питера Джонстона «Пространства Стоуна». Долгое время время, я вообще собирался пропустить последнюю главу, про топологические упорядоченные пространства. Но в предпоследней главе появились решетки и локали Стоуна как естественные профинитные объекты соответствующих категорий. И это определенный класс топологических объектов. Тем более меня интересовали локально-компактные регулярные локали, потому что у них есть одноточечная компактификация Александрова. А в этой главе был параграф про локальную компактность. Поэтому я решил разобрать эту главушку .

Глава начинается с обсуждения упорядоченных топологических пространств. Любой предпорядок имеет естественную топологию открытых интервалов. Топологических упорядоченных пространство называется Хаусдорфовым по порядку если отношение нестрогого порядка замкнуто. Эти пространства отличаются тем что топология имеет базу состоящую из пересечений верхних и нижних множеств. Любая топологическая полурешетка Хаусдорфова по порядку. И компактная топологическая полурешетка имеет пределы всех направленных подмножеств. Поэтому она является полной решеткой. Более того они являются непрерывно дистрибьютивными решетками. И в таких решетках нижние множества замкнуты ровно тогда, когда они являются идеалами. Далее рассматриваются топологические решетки у которых обе операции минимум и максимум непрерывны. Один из способом превратить компактную топологическую полурешетку в решетку это вложить ее решетку ее же нижних компактных множеств (эта конструкция похожа на метрику Хаусдорфа в метрической топологии). Более того, оказывается у каждой решетки есть не более одной топологии, которая делает ее топологической полурешеткой. Потом рассматривается еще более сильная форма дистрибьютивности на решётке, которая называется полной дистрибьютивностью. Оказывается, что если решетка ей обладает, то обратная к ней тоже. Любое полностью упорядоченное множество полностью дистрибьютивно. Оказывается, что полностью дистрибьютивная решетка с интервальной топологией будет топологической решеткой. В то же время любая решетка Стоун будет полностью дистрибьютивной. (Весь это параграф звучит ужасно).

Следующий параграф начинается с обсуждения отношения «сильно внизу» в упорядоченном множестве с направленными объединениями. Грубо говоря, если это множество топология какого-то пространства, то оно означает, что замыкание какого-то открытого множества содержится в другом и компактно. Но на языке теории порядка это звучит так, что если нижняя верхняя грань идеала больше второго элемента, то тогда этот идеал содержит первый элемент. Непрерывным называется упорядоченное множество в котором функтор нижней верхней грани идеала сопряжен справа. Его левый сопряженный функтор оказывается отображением элемента в множество всех элементов сильно ниже его. Непрерывные подмножества непрерываного упорядоченного подмножества соответствуют идемпотентным автоморфизмам непрерывным в топологии Скотта. Любое непрерывное упорядоченное множество трезво в своей топологии Скотта. Более того, эта топология Скотта будет полностью дистрибьютивной. Любая полностью дистрибьютивная решетка будет пространственной локалью, то есть топологией какого-то пространства. А точки этого пространства будут иметь непрерывный порядок специализации. Так как обратная к любой полностью дистрибьютивной локали будет полностью дистрибьютивна, то можно взять топологию Скотта непрерывного упорядоченного множества, развернуть ее и построить новое непрерывное упорядоченное множество. Такое пространство называется двойственным, и если повторить эту конструкцию, то мы получим исходное множество. Точки двойтсвенного множества соответствуют открытым фильтрам в топологии Скотта.

Что бы превратить эту двойственность в настоящую двойственность в смысле теории категорий нужно использовать особые морфизмы, которые называются отображениями Лосона. Это монотонные непрерывные в топологии Скотта отображения, такие что прообразы фильтров переходят в фильтры. Эта двойственность будет шизофренической. Потому что это двойственное пространство можно описать как множество отображений Лосона в множество {0,1}. Cтоит заметить при этом, что полурешетки при этом переходят в полурешетки. Но решетки переходят не в решетки, а в так называемые стабильно непрерывные полурешетки, то есть в такие полурешетки, где отношение «сильно ниже» уважает операции полурешетки. Поэтму двойственность существует только для категории стабильно непрерывных решеток. Все непрерывные решетки тополгические. Их особая топология называется топологией Лосона, и эта топология всегда компактная и Хаусдорфова по порядку. Любая компактная регулярная локаль будет стабильно непрерывной.

Один из главных результатов этой главы заключается в том, что непрерывные локали — это ровным счетом топологии локально компактных пространств. И трезвое пространство локально компактно тогда и только тогда, когда его топология непрерывно. Интересно, что это означает, что его собственная топология имеет компактную топологию Лосона. Звучит забавно. Пространства, которые имеют стабильно непрерывную топологию называются стабильно локально компактными. При это стабильно локально компактные пространства будут компактными. Другое важный результат — это то, что непрерывные локали это ровным счетом экспоненциальные объекты в категории локалей. А значит локально компактные локали это ровным счетом экспоненциальные объекты в категории трезвых пространств. Этот означает непрерывность «каррирования» для таких пространств. И этот результат важный компонент теоремы Уайтхеда в алгебраической топологии.

Но вряд ли помощь в доказательстве теоремы Уайтхеда это цель этой книги или даже цель этой главы. К сожалению сформулировать общую цель этой главы мне сложно. Также жаль, что тут не рассматривается одноточечная компактификация Александрова. Интересно, заметить, что такая компактификация всегда компактная и регулярная, а значит ее топология стабильно непрерывна. Возможно, можно было бы рассмотреть забывающий функтор из категории стабильно непрерывных локалей в категорию просто непрерывных локалей. И если у него будет сопряженный, то он будет вести себя как одноточечная компактификация Александрова, если ее ограничить на регулярные локали. Или можно попробовать вложить непрерывную локаль в топологию Скотта двойственной локали.

[	Current Mood	|	sore	]
[	Current Music	|	Leonard Cohen - Songs by Leonard Cohen	]

Cтивен Викерс
Топология через логику
1989

Я решил все-таки закончить разбирать книгу Джонстона «Пространства Стоуна». Последняя глава там посвящена топологическим решеткам. Вначале я не понимал к чему тут эта глава? Но в предпоследней главе появились профинитные решетки или решетки с тополгией Стоуна. Поэтому я решил все же разобрать эту главу. Там началась тема с топологией Скотта. А она была в самом начале. И я решил повторить. Но я решил использовать это как повод прочить книгу Стивена Викерса «Топология через Логика».

Эта книга была написана как введение в топологию для программистов. Поэтому набор тем там довольно специфический. И она меня давно интриговала. Эта книга фокусируется на приложениях теории Доменов, то есть к формальному анализу программ и денотационной семантики. Тон в этой книге довольно дружелюбный вначале. Поэтому я начал читать ее как роман, и дочитал до конца. Благо он не длинная. Но потом ее содержание тоже становится довольно забористой. Поэтому я разобрал те страницы, которые мне казались полезными. А теорию доменов не стал глубоко разбирать, потому что не очень понимаю, где ее дальше применять. Вряд ли я в ближайшие время, я еще вернусь к этой книге. Поэтому, я расскажу сейчас про то интересное, что я там видел.