Также кажется, что одна из задач, решаемых гомологической алгеброй, это абстрагирования сложных алгебраических вычислений, обычно включающих знакопеременные суммы. Но это не точно. Многие доказательства в элементарной гомологической алгебре представляют из себя так называемые «погони по диаграммам». Мне такие доказательства напоминают решения пазлов Судоку. Поэтому у меня создалось впечатление, что какая-то часть базовой гомологической алгебры полностью конструктивна, в том смысле что «погони по диаграммам» легко перенести из одной категории в другую. Это не совсем верно с точки зрение фундаментальной теории множеств, потому что в этих «погонях по диаграммам» важны теоремы типа того, что сюръекция и инъекция одновременно всегда биекции. Но для большого класса категорий такая логика действительно работает. К ним я перейду в следующем абзаце. Пока просто отмечу забавный факт, что Snake Lemma, в гомологической алгебре это один из немногих результатов в математики при обсуждении, которого принято ссылаться на фильм.

Грубо говоря, те категории в которых можно заниматься гомологической алгеброй — это абелевы категории. Кажется, я даже видел мнение, что гомологическая алгебра — это ровным счетом наука про абелевы категории. Но я не уверен, что правильно такое писать. Типичный пример абелевой категории — это модули над кольцом. Один из главных признаков абелевой категории это то, что конечные произведения и копроизведения должны совпадать, но это верно для любых аддитивных категорий. В этих категория можно определить многие понятия из линейной алгебры типа ядра. И поэтому там можно определить цепные комплексы. Цепные комплексы сами образуют абелеву категорию. Также абелеаыми категориями будут категории функторов и пучков со значениями в абелевой категории. Поэтому можно говорить про гомологии и когомологии пучков. Теорема Фрейда-Митчела говорит, что любая абалева категория локально устроена как категория модулей над кольцом. Поэтому многие теоремы можно доказывать как в линейной алгебры вводя символические элементы.

Интересный и понятный пример цепного комплекса пучков или предпучков, на мой взгляд, представляет цепной комплекс комплексного логарифма. Этот комплекс состоит из локально постоянных целочисленных функций которые умножение «на два пи и» отображаются в непрерывные комплексно-значные функции как константы, которые потом экспоненцированием отображаются в нигде-ненулевые непрерывные комплексно-значные функции с умножением в качестве коммутативной операцией. Если эти функции определены на простой проколотой окрестности, то эти последовательности будет точна как последовательность пучков и не точна как последовательность предпучков. Это потому что комплексный логарифм всегда можно определить, но только локально. И соответствующий цепной комплекс предпучков будет иметь одномерную первую гомологию (потому что в области определения функций есть одна »дырка«).

Гомологическая алгебра также в каком-то смысле включает в себя теорию симплициальных объектов. Проще всего их рассматривать как функторы из категории симплекса. Это сразу дает все симплициальные морфизмы симплициальных объектов с соответствующими отношениями. Все это расписывать довольно муторно. Для нас важно, что можно также определить гомотопию симплициальных объектов и гомотопические группы. Это очень похоже на работу с триангуляциями CW-комплексов в алгебраической топологии. Для нас важно, что существует соответствие Долда-Кана между симплициальными объектами в абелевой категории и односторонними цепными комплексами, которая сохраняет отношение гомотопии и переводит гомотопические группы в гомологии.

Интересно, что любая комонада задает симплициальный объект. И это довольно мощно, потому что это значит, что любая пара сопряженных функторов между парой категорий, одна их которых абелева, задает гомологическую или когомологическую теорию на этой абелевой категории. В этом контексте существует результат о канонической резольвенте для проективных объектов соответствующей комонады. И многие известные точные последовательности могут быть получены таким образом. Используя функтор из произвольной категории в абелеву и команду на первой произвольной категории можно получить гомологическую теорию. Примером такой гомологической теории может служить теория гомологий и когомологий Андре-Квилина на коммутативных алгебрах. В ней в качестве комонады используется «полиномиальная комонада», а в качестве функтора в абелеву категорию используется функтор дериваций. Это определяет когомологии Андре-Квилина. А гомологии Андре-Квилина конструируются с помощью модуля Кэллеровых дифференциалов, который мы обсуждали в прошлом математическом посте. Не-абалевой переменной этой гомологической теории выступает коммутативная алгебра, а абелевой — модуль над этой алгеброй. Нулевая когомология будет состоять из дериваций на этом модуле, а нулевая когомология из этого модуля тензорно умноженного на Кэлеровы дифференциалы, то есть как-бы из векторов дифференциальных форм. Ели Алгебра полиномиальная (или в более общем случае гладкая), то все старшие гомологии и когомологии будут зануляться. Этот пример можно использовать как пример того, что гомологии и когомологии не всегда считают «дырки». Теперь они скорее считают препятствия к алгебраической гладкости.

Пререквизиты для изучения гомологической алгебры — это теория категорий и мультилинейная алгебра. Знакомство с алгебраической топологией, дифференциальной геометрией и другими разделами алгебры могут помочь. Но оно не обязательно.

Для чего подходит гомологическая алгебра кроме алгебры, топологии, геометрии и прочей «core mathematics»? Я бы обратил вниманию на теорию сложности и проблемы типа P!=NP. Например, Маним в свое «Логике» определял гомологии Чеха для рекурсивных структур. Очень смешно, что недавно вышла статья с такой идеей, но она оказалось слопом, написанной нейросетью. Более того, эта нейросеть нагалюцинировала ссылку на гитхаб с кодом на языке lean. Хорошие шустрые математики сразу зарегали свой репозиторий по этому адресу и выложили там опровержение этой статьи. В итоге получилась статья на архиве, содержащая ссылку на собственное опровержение. Вот такая обасака.

Исторически Гомологическая алгебра существуют в трех изложениях. Оригинальное изложение Эйленберга-Картана, основанное на производных функторах. Изложение Гротендика из его статье «Тохаку» в японском журнале ввело в качестве основы теории понятие абелевых категорий. В своем труде EGA Гротендик говорил про когомологии пучков. Третий подход через производные категории появился в диссертации ученика Гротендика Вердье.

Наконец расскажу, что я читал по данной теме. Вейбел «Введение в гомологическую» — абсолютная классика. Мне очень понравилась как эта книга написана с большим количеством примеров и упражнений. Очень рекомендую. Это очень довольно толстая книга, которая пытается дать панораму современной гомологической алгебры. Это может быть как и плюс и минус для кого-то. Также Вейбел опирается на теорему Фрейда-Митчелла и часто использует доказательства с символическими элементами в духе линейной алгебры вместо чисто категорных методов. Это опять же может быть плюс или минус в зависимости от читателя. «Методы Гомологической Алгебры» Гельфанда мне тоже показались очень интересной книгой. Меня заинтриговала внимание Гельфанда к концепту «гомологической теории» как к бифунктору. И мне понравилось, что в Гельфанд довольно рано переходит к производным категориям, в то время как другие авторы заметают это тему в конец. Также Гельфанд в этом учебники пишет про триангулированные категории и гомотопическую алгебру, что тоже может быть интересно. Этот учебник также необычен тем, что он начинается с симплициальных объектов. Я пребывал по нему заниматься. Но мне это начало показалось немного путанным (на мой вкус). Поэтому мое изложение тут больше основывалось на Вейбеле, который мне показался более четким упорядоченным. Что же касается гомологий пучков, то я нашел книгу с таким названием авторства Иверсона. Она кажется хорошо написанной со степенным развитием идей снизу вверх. Но ее типографические качества делают ее сложной для чтения. Поэтому я скорее буду заниматься по книжке Бредона «Теория Пучков». Там есть почти все темы из Иверсона. Также в качестве м потенциальной вершины моих занятий стоит отметить книгу Александру Димки «Пучки в Топологии». Она явно написано в той же топике, что и две предыдущие книге. Но, кажется, что она намного более продвинутая и сразу бросается с места в карьер.

Пока основной преградой на моем пути становится концепция «производного функторы». Из любого сопряженного с правильной стороны можно сделать производный функтор а затем использовать его для получение резольвенты. Например, любая категория абелевых пучков снабжена функтором глобальных сечений, и его нужно использовать для получения классической когомоглогии пучков. Меня привлекает идея вместо более классического изложения у Вейбела сразу прыгнуть в производные категории как у Гельфанда и Димку. И я скорее всего начну пытаться менять основной учебник. И этот пост уже довольно длинный, хоть не о чем конкретно я пока не рассказал. Поэтому эта тема скорее всего станет темой следующего математического поста.