| Классифицирующие Топосы |
[Aug. 22nd, 2024|11:39 pm] |
| [ | Current Mood |
| |  anxious | ] |
| [ | Current Music |
| | Обсуждаем художественное творчество и философию Юрия Мамлеева | ] |
Значит так, классифицирующие топосы. Не совсем моя тема. Но мне кажется, идею я понял. Вещица это занятная. Но зачем она нужна сказать не могу. Может быть тут появится какая-то ясность, когда я прочитаю главу про геометрическую логику. Но может это просто такая прикольная шутка.
Если вы не хотите читать этот пост, то все равно рекомендую пост Джона Баеза про торсоры, на который я дальше ссылаюсь.
Чтобы понять, что такое классифицирующий топос предлагается вспомнить про классифицирующие объекты в алгебраической топологии. Вспомним, что такое симплициальный объект. А конкретней можно рассмотреть cимпликтический объект — цепь, задающую сингулярные гомологии пространства Х. Тогда можно построить ко-цепь морфизмов оттуда в произвольную Абелеву группу. Когомологии этой ко-цепи называются сингулярными когомологиями Х с коэффициентами в А. Про эти когомологии можно думать как про би-функтор из произведения категории пространств на категорию Абелевых групп в категорию Абелевых групп. В курсе алгебраической топологии доказывают, что это этот функтор принимает одно и то же значение на всех гомотопически-эквивалентных отображениях. Пространство K называется пространством Эйленберга-Мак Лейна энной когомологии, если эта энная когомология у него всегда устроена просто как множество эндоморфизмов той группы, в которой лежат его коэффициенты. И действительно можно доказать, что такое пространство существует. Назовём универсальный класс когомологий, который переходит в тождественное отображение под этой эквивалентности. Тогда уже для произвольного класса когомологий c произвольного пространство X можно однозначно с точностью до гомотопии построить отображение из X в K так, чтобы гамма перешла в c (тут учитывается, что функтор контрвариантный). Получается, что есть естественная биекция между классами когомологий произвольного и классами гомотопически-эквивалентных отображений в пространство Эйленберга-Мак Лейна. В таком случае говорят, что пространство K является классифицирующим объектом для энных когомологий, но оно еще не является классифицирующим топосом. Польза, как я понял, тут такая, что получающиеся с точность до гомотопии отображения можно применять к универсальным классам когомологий другого порядка. И таким образом получить контрабандные переходы между этими классами. Примеры, тут такие: окружность является классифицирующим пространством для первой когомологии с коэффициентами в натуральных чисел. А для второй когомологии это уже бесконечномерное комплексное проективное пространство. То есть, такое впечатление, что сложность классифицирующих пространств растет очень быстро вместе с порядком когомологии.
Другой топологический пример — это расслоения топологических групп. Для начала можно рассмотреть грассманиан (многообразие соостоящие из подпространств фиксированной размерной) и многообразие Штифеля (состоящее из наборов ортогональных векторов) одной размерности в эн-мерном пространстве. Тогда, натягивая подпространства, получим накрытие многообразия Штифеля Грассманиана. Ортогональная группа транзитивно и свободно действует на каждый слой этого накрытия. Так мы получили главное расслоение ортогональной группы. Главным свойством тут является то, что действие на группы должно сохранять слои. Это эквивалентно существованию локальной тривиализации с определенными свойствами, что очень похоже на определение гладкого многообразия. И это не просто так. Потому что касательные расслоения являются главными расслоениями для общей линейной группы GL(...). Другим примером являются (регулярные) топологические накрытия. И в этом случае группой будет их топологическая группа Галуа! Без особых проблем можно определить морфизмы главных расслоений, и не сложно показать, что все такие морфизмы будут гомеоморфизмами. По аналогии с когомологиями можно также определить универсальное расслоение над пространством X c группой G, как такое расслоение, что любое другое главное расслоения с группой G получается как пулбэк некоторой непрерывной функции с образом в Х. Теперь снова отображения определяется c точностью до гомотопии. Такое пространство обозначают ВG. И можно сказать, что множества главных расслоений с группой G над Y канонически и естественно эквивалентно классам гомотопически-эквивалентных отображений из Y в ВG. Опять мы имеем дело с классифицирующим объектом, но не классифицирующим топосами.
Потом речь заходит про торсоры, и торсоры дают нам первый пример классифицирующего топоса. Мак Лейн определяет торсоры как главные расслоения дискретных групп. И из результатов про этальные пространства в начале книги сразу следует, что их можно представлять как пучки с действием группы транзитивным и свободным на ростках. Джон Баез дает в своем блоге более элементарное определение торсора. Он пишет, что торсор — это группа, забывшая свой единичный элемент. То есть тут канонический пример — это отношения векторного и аффиного пространства. А в предыдущем абзаце торсорами были сечения главных расслоений. В целом очень рекомендую этот пост Джона Баеза, потому что там много элементарных примеров из школьной физики и теории музыки. Но также там есть и более продвинутая физика типа спина электронов и калибровочной теории. И кажется, что тут мы приходим к противоречию между определениями Джона Баеза и Мак Лейна. Но это не совсем так. Потому что используя торию сопряженных функторов можно доказать, что определение Мак Лейна эквивалентна тому, что квадрат пучка канонически изоморфен произведению пучка на группу. Поэтому в некотором смысле это тоже особая форма эквивалентности объекта действующей на нем группе (если сократить множитель, хотя эта операция и не имеет смысла). Это определение легко обобщается на произвольные топосы. yниверсальный торсор для группы G — это она сома как объект в категории пространств с действием группы G. Напомню, что эта категория — это топос BG. И он будет классифицирующим топосом для торсоров. То есть, любой торсор в топосе T получается из некоего геометрического морфизма T -> BG. И эта операция заключается в вычисление обратной части геометрического морфизма на G.
Грубо говоря определить классифицирующий топос можно для геометрический теории. Грубо, потому что мы нигде не определяли, что такое геометрическая теория. Потому пока геометрическая теория это просто некоторая операция, которая более-менее функториально конструирует в любом данном топосе подкатегорию, которую я буду называть категорией моделей данной теории в данном топосе. В предыдущем примере была теория торсоров. Можно также, например, рассмотреть тривиальную теорию у которой любой объект всегда будет моделью. Классифицирующий топос такой тривиальной теории называется просто классификатором объектов. Оказывается такой топос не сложно описать просто как категорию функторов из категории конечных множеств в категорию произвольных множеств с универсальным объектом — функтором вложения. Кажется, что пользой от знания классифицирующего топоса может стать операция замены топоса для модели. Так как геометрические морфизмы работают в обе стороны. Можно также по аналогии с контрабандой между когомологиями разного порядка попробовать организовать контрабанду между моделями разных теорий. И наверное всю историю с когомологиями как-то тоже можно описать через пучки. Поэтому, наверное, иногда и говорят про когомологические теории.
Дальше приводятся примеры:
Для теории коммутативных колец классифифицирующим топосом будет топос предпучков на категории двойственной к конечно-порождённым коммутативным кольцам. Это малую категорию можно считать очень простым обобщением идеи алгебраического (аффиного) многообразия. Универсальной моделью кольца будет функтор вложения. Другой пример, это теория локальных колец. Локакальным называют такое кольцо, где максимальный идеал единственен. Это условие можно переписать так, что для каждого элемента либо он сам обратим, либо единичный минус этот элемент обратим. Идея тут, кажется, в том, чтобы определит класс колец похожий на ростки гладких функций в точке. Например, кольцо многочленов не будет локальным. Классифицирующим топосом для локальных колец будет топос Зарисского. Это пучки на той же малой категории, что и выше, с одноименной топологией. И универсальной моделью локального кольца выступает так называемый структурный пучок. Это что-то вроде ростков многочленов на соответствующем алгебраическом многообразии. Причем, структурный пучок — это то же самое, что и вложение в данном случае. Интересно, можно ли из всего этого построить функтор локализации.
Другой пример, этой теория линейных интервалов. Интересный пример модели линейного интервала в котегории пучков на замунутых множеством топологического пространства с локально-конечной топологией Гротендика — это непрерывные функции со значениями в интервале [0,1]. Можно доказать, что классифицирующим топосом для них является топос симплициальных множеств. Тут главная идея в том, что для любой модели линейного интервала можно построить симплекс произвольной размерности в данном топосе. А если есть симпликсы, то на топосы можно определить сингулярные комлексы, а также функтор геометрической реализации для симплициальных моделей в данном топосе. Например в топосе пучков симплексы размерности n могут фактически состоять из непрерывных функций со значениями в обычных симплексах.
Еще один пример это разрешимые объекты, которых классифицирует топос Шануэля. Топос Шануэля, можно представить как категорию пространств с действием группы перестановок натуральных чисел. Разрешимые объекты — это те объекты, диагональ в квадрате которых имеет дополнение. Это можно интерпретировать с точки зрения теории вычислений, что у этих объектов есть вычислимая операция сравнения элементов. Только смысл слова "вычисления" зависит от топоса. Например, в топосе множеств, или в общем говоря, в любом булевом топосе все объекты разрешимы.
Ине эта глава понравилась. Тут много примеров, а доказательства не сложные. Но они требуют теории фильтрующих функторов. То есть фильтрующие функторы тут выступают в роли такого дракона, которого нужно победить, чтобы попасть в пещеру с сокровищами.
|
|
|