[	Current Mood	|	hungry	]
[	Current Music	|	Sandy Coast - From the workshop	]

Учебники

Позвольте мне рассказать о моих успехах. Я прочитал несколько глав по коммутативной алгебре, которые я могу объединить под общим названием «геометричная коммутативная алгебра». В основном я пользовался книгой Айзенбуда «Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии». Эта книга обладает незаменимой геометрической интуицией. Однако она не идеальна. Организация материала порой довольно хаотична. В ней часто приводятся продвинутые результаты без доказательств или используются понятия и теоремы, которые будут определены или доказаны лишь через несколько глав. Если бы я преподавал курс коммутативной алгебры, я бы, вероятно, использовал более короткую и простую книгу. Кроме того, иногда для организации занятий я использовал «Коммутативную алгебру» Ферретти. Тем не менее, ни одна другая книга не содержит геометрической интуиции, которая для меня наиболее ценна. Поэтому я часто пропускал технические детали и доказательства, сосредоточиваясь на этой интуиции.

Первой темой, о которой я прочитал, было разложение по примарным идеалам. Определение примарных идеалов в примарных разложений не такое простое и легко может запутать. Поэтому я отошлю вас к справочным текстам. Важный момент заключается в том, что идеалы в примарном разложении имеют ассоциированные простые идеалы. И идеал в примарнои разложении n-й степени простого идеала, ассоциированный исходным простым идеалом, является n-й символической степенью указанного простого идеала. Важно не путать символическую степень с обычной степенью. В геометрическом контексте простые идеалы соответствуют неприводимым замкнутым множествам, и сами простые идеалы — это координатные функции, равные нулю на этих множествах. Тогда, в характеристики 0 символические степени соответствуют множествам координатных функций, для которых все производные степени, меньше n равны нулю.

Следующая тема – это то, что я называю теорией алгебраических уравнений. Эти результаты, как правило, построены вокруг концепции интегральных зависимостей над данным подкольцом внутри даннаого кольца. Ключевыми теоремами здесь являются теорема Гильберта о нулях и теорема Нётер о нормализации. В самом общем виде теорема Гильберта о нулях заключается в том, что конечно порождённая алгебра над кольцом Джекобсона снова является кольцом Джекобсона. Кольца Джекобссона — это кольца, где любой простой идеал выражается как пересечение максимальных. Теорема Нётер о нормализации в наиболее развитой форме утверждает, что для заданных аффинного кольца A и конечной цепочки идеалов можно выбрать набор порождающих A такой, что существует цепочка подкортежей порождающих, порождающих соответствующие частные, причём размеры этих наборов в точности равны размерностям частных. Это похоже на выбор удобной системы координат. Это именно тот результат, который мне был нужен.

Следующую категорию результатов я бы назвал «гладкой коммутативной алгеброй». Хотя это и нестандартное название. Первая группа результатов начинается с концепции ассоциированных градуированных колец. Идея ассоциированного градуированного кольца, по сути, заключается в том, что каждое кольцо подобно кольцу многочленов, если выбрать фиксированный идеал в качестве точки обзора. Это достигается путём рассмотрения частей элемента, принадлежащих n-й степени идеала, но не (n + 1)-й степени, как однородных элементов степени n. Конечно, это, вообще говоря, не изоморфизм. Существует также связанное понятие алгебры раздутия. Что интересно, геометрически ассоциированные градуированные алгебры соответствуют раздутым версиям подмногообразиям, соответствующим данным идеалам, поскольку ассоциированные градуированные алгебры являются факторами алгебр раздутия. Ассоциированные градуированные кольца также могут быть использованы для определения касательных конусов многообразий Зарисского. Это достигается отображением идеала, соответствующиго многообаразия, в начальные отрезки в в ассоциированное градуированное кольцо относительно максимального идеала, соответствего точки многообразия, в котором строится этот касательный конус. Если касательный конус в точке изоморфен аффинной плоскости, то мы можем рассматривать такие точки как гладкие или регулярные. Ключевыми теоремами здесь являются лемма Риса-Атина и теорема Крулля о пересечении.

Следующая тема гладкой коммутативной алгебы касается плоских семейств и слоев алгебраических многообразий. Эти понятия связвны потому что слои оказываются плоскими. Грубо говоря плоскость модуля означает, что тензорное произведение с ним не уничтожает никакой информации. Существует критерий плоскостности A-модуля, согласно которому A-модуль M является плоским тогда и только тогда, когда первый Tor равен нулю для каждого факторкольца A/I для каждого конечно порождённого идеала I (Tor_1^A(A/I,M)=0). По двойственности Серра-Свана конечно порождённые плоские модули являются пучками локально свободных модулей. Поэтому, я думаю, правильная геометрическая интуиция относительно плоских модулей заключается в том, чтобы думать о них как об обобщении модулей тензорных полей (например, векторных полей) над координатными кольцами (просто для наглядности подумайте о гладких функциях на многообразиях) алгебраического многообразия X, а именно самого A. И мы можем связать такие модули с пучками V, по крайней мере, в контексте, когда A является аффинным (но я надеюсь, что эта интуиция работает в общем случае). Таким образом, интуитивно этот критерий говорит, что любой настоящий модуль тензорных полей не теряет локальную информацию при ограничении на подмногообразие.

Наконец, я изучал пополнения и связанные с ними результаты. Если ассоциированные градуированные кольца представляют кольца локально как «кольца многочленов», то пополнения локально соответствуют кольцу с соответствующими разложениями в степенные ряды (I-аддические разложения и I-аддическая топология). Пополнения строятся как обратные пределы частных по степеням идеала (или любой общей фильтрации). Тогда, отображая элементы старого кольца в это новое пополнение, мы получаем нечто вроде разложения элемента в степенной ряд. Полученные кольца являются локальными полными кольцами. Локальные полные кольца очень особенные, поскольку для них выполнятеся лемма Гензеля, которая даёт своего рода алгебраическую версию о теорему об обобщенных функциях и алгебраический вариант метода Ньютона. Эта теорема имеет множество приложений. Другим важным результатом является структурная теорема Коэна, которая показывает, что каждое полное локальное кольцо является фактором кольца степенных рядов. Это кольцо степенных рядов можно сделать кольцом степенных рядов над полем или над кольцом векторов Витта. Поскольку пополнения строятся как обратные пределы, их можно снабдить топологией Крулля, превращая их в кольца Стоуна. И большинство их свойств можно вывести из их топологии Стоуна. Так вот мы опять вроде бы из совершенно левой темы проишли к пространствам Стоуна.

[	Current Mood	|	nervous	]
[	Current Music	|	Miles Davis - Filles de Kilimanjaro	]

Affine Sets and Affine Groups
D. G. Northcott
1980

Изучая алгебраическую геометрию, я преследую две цели. Я хочу рпзобраться в различных топологиях Гротендика, которая может возникать на схемах, например Зариского, Этальная, fppf. В том числе хочу понять ее интуитивный смысл. И разобраться с тем, каков внутренний язык соответствующих топосов и как они все связаны. Второй вопрос я сформировал уже при чтении этой книги. Грубо говоря, я понял, что не понимаю, почему Гротондик запихал простые идеалы в спектр Зариского. И я считаю что с этим вопросом нужно разобраться. В принципе — эта книга не отвечает не на один из этих вопросов. Поэтому не понятно нахуя ее читать. Но если бы я ее не начал читать, то эта книга меня бы мучала. Я решил, что с нее можно начать для разгона. Тут нет теории категорий. И на мои деньги тут нет геометрических идей. Только чистая алгебра и общая топология. Я бы не хотел бы фокусироваться на анализе конкретных кривых и поверхностей малой размерности. Или на проектинвной алгебраической геометрии. Поэтому эта обезжиренность меня во многом и подкупила.

То что я заметил тут необычного, так это то, что определяя афинное алгебраическое множество над полем k Норскотт использует так называемые «рациональные идеалы», то есть максимальные идеалы, фактор по которым — это поле k. Это у него собственно точки афинных алгебраических множеств. А потом он определяет радикал идеала как пересечение рациональных идеалов, содержащих данный. И радикальный идеал — это идеал равный своему идеалу. Радикальные идеалы соответсвуют открытым или замкнутым множествам. Это определение удобно, потому что для любого бесконечного поля афинная прямая, то есть многообразие соответствующее . Вначале, я очень возмутился и подумал, что это какое-то наеболово. Потому что в спектре Зариского в качестве точек должны быть простые идеалы. Потом я начал смотреть Харсхорна и понял, что в первой главе он тоже не пишет про спектр Зариского, а пишет про все те же аффинные алгебраисчкие множества. Основное отличие в том, что Хартсхорн работает над алгебраически замкнутом поле и в качестве точек использует максимальные идеалы. Грубо говоря, теорема Гильберта о нулях говорит нам, что над агебраически замкнутым полем все максимальные иделы рацианальны. И Хартсхорн довольно активно пользуется разной коммутативной алгеброй и в том числе теоремой Гильберта о нулях. И тогда я понял, что то что деалет Норкотт — это то, что Эрик Вайнштейн называл словом «технический долг». Потому что в первой часть своей книги он почти не пользуется коммутативной алгеброй. Все само вылазит из определений. И Эрик Вайнштейну нужн учиться и учиться у Норскотта брать технический долг, зашивая его в свои определения. Потому что если следовать пути Норскотта, то вся сложная коммутативная аогебра будет на стороне того, кто захочет применить его алгебраическую геометрию к конкретному полю. И ему придется выяснять, как у него в поле устроены рациональные идеалы, если оно алгебраически не замкнуто.

О чем собственно алгебраическая геометрия? На уровне этой книги — это изучение аффинных алгебраических множеств. Для Норскотта все такие множества — это частный случай того, что он называет алгебрами функций (вычислиямых в поле), структуры состоящей из множества точек, и кольца вычисляемых на нем функций. Когда для такой структуры выполняется рад хороших свойств (конечно-поражленность, не избыточность) — она называется аффинным алгебраическим множеством. Грубо говоря, эти множества хороши тем, что на них можно залать связность Галуа между множествами точек и множествами функций. Замкнутыми объектами на стороне функций будут радикальные идеалы, а на стороне точек собственно замкнутые множества в топологии Зариского. То есть между ними будет биекция. О топологии Зариского полезно думать с вычислительной точки зрения, о чем я писал пару математических постов назад. Множество открыто или замкнуто если принадлежность к нему данной можно проверить вычислением конечного числа полиномов. Алгебра функций алгебраического множества называется координатным кольцом. Все свойства и отношения алгебраического множества сводятся к свойсттвам их координатных колец. Поэтому категория аффинных алгебраических множеств эквивалентна обратной к подкатегории алгебр, категории аффинных алгебр. Так там определены морфизмы.

Мне это определение очень напонмнило то как Викерс в своей книжке определял топологическую систему. Для Викерса топологическое пространство или локаль — это хорошо сбалансированная топологическая система. Я подумал, что можно было бы определить геометрическую систему, если добавит к топологической системе координатное кольцо. Формальное Координатное кольцо — это просто ассоциативное кольцо, наверное с единицей, и еще две функции. Первая функция отображает каждую формальную точку в идеал "зануляющихся функций" на точке (скорее всего двусторонний, но не обязательно максимальный). А также функцию, которая сопоставляет каждому элементу кольца формальное открытое ко-нулевое (сozero open). В такой геометрической системе должно существовать усовие разделение нулей и конулей, что типа если точка зануляет элемент кольца, то она не может быть моделью его ко-нулевого открытого. Но это условие можно сделать более нестрогим чем для настоящих алгебр функций! То есть можно представить, что функция в точки либо зануляется, либо не зануляется, либо принимает бесконечно-малое значение и тогда проверить ноль она или не ноль не возможно за конечное вычислительное время. Также в этой конструкции можно не требовать от кольца коммутативности или какой-то определенной вычислимости со значением в поле. Поэтому эту конструкцию можно использовать в некоммутотивной гометрии. Также жизнь учит брать не просто кольцо, а пучок колец на локали формальных открытых. Тогда глобальное сечение этого пучка будет координатным кольцом в традиционном смысле. А дальше как использовать свойства этого координатного пучка как пучка должно зависить от контекста. В такое определение укладывается почти вся геометрия: алгебраическая, дифференциальная и не-коммутативная. Нужно только правильно формулировать свойства координатного пучка.

Но вернемся к элементарной алгебраической геометрии. Из требования конечной поражденности вытекает нетеровость координатного кольцо (теорема Гильберта о базисе). А из нетеровости вытекает то, что любое аффинное алгебраическое множество состоит из конечного числа неприводимых замкнутых множеств. Неприводимым замкнутым множеством называется такое, которое нельзя представить в форме нетривиального объединения двух других. А закнутые множества — это ровным счетом подъобекты в соответствующей категории. То есть любое «многообразие« разбивается на конечное число максимальных « неприводимых многообразий». Оказывается, что неприводимые замкнутые множества соответствует простым идеалам координатного кольца. То есть если очень грубо говорит простые идеалы — это настояшие геометрические примитивы. Интересно эту идею применить к кольцам, которые не являются аффинными алгебрами. Более того, оказывается что «многообразие» неприводимо, если его координатная алгебра является целостным кольцом. Это позволяет для таких неприводимых конструкций построить поле рациональных функций. Потом, грубо говоря, посчитав число переменных в этом поле над исходным можно определить размерность «многообразия». Также Норскотт уделяет внимание расширению полей Интересно, что у каждого такого аффинного многообразие есть «продолжение» в любое расширение исходного поля, не важно алгебраическое или нет. И исходное пространство в это продолжение плотно вкладывается, и у продолжения та же размерность, но над новым полем. То есть получается, что действительные числа плотны в комплексных, если их расматривать с топологией Зариского.

Все эти результаты выше получаются почти бесплатно из определений. Определенные сложности начинаются в конце третей главы, котгда Норскотт доказывает факты из теории размерности, связанные с эпиморфизмами. Тут уже не получается запихнуть весь технический долг в определения. И приходится действовать более грубо, а именно ссылаться на факты из других книг о коммутативной алгебре. В первую очередь это теорема Нетер о нормализации и другие смежные факты. Это не очень сложная теорема, но я решил, что это хороший повод прерваться c этой и пойти почитать что-нибудь по коммутивной алгебре.

Но перед тем как закончить этот пост. Я хотел бы дать предварительный ответ на свой вопрос про спектр Зарисского. То есть мне понятно, что точки в спектре Зарисского это в определенном смысле формальные точки, делающие эту топологическую систему локалической, то есть булево-значные функционалы в категории локалей. И потом оказывается что они соответствуют простым идеалам. Но я не уверен, что этот ответ удовлетворительный, потому что это не объясняет, почему формальные точки соостветствуют геометрическим примитивам.