| Граница всех метрических структур, понимаемых как многогранный конус |
[Jul. 15th, 2020|07:26 pm] |
| [ | Current Mood |
| |  sick | ] |
| [ | Current Music |
| | Обсуждаем марксизм и диалектику с Лексом Кравецким | ] |
Рассмотрим произвольное множество $X$. На базисе из его элементов можно натянуть действительное векторное пространство $\mathbb{R}X$. Тензорный квадрат этого пространства $\mathbb{R}X \otimes \mathbb{R}X$ можно факторизовать так, что выполняются отношения $[x \otimes y] = [y \otimes x]$ и $[x \otimes x]=0$ для $x,y \in X$. Назавем эту факторизацию $V$. Тогда двойственное пространство $V^*$ можно ассоциировать с симметричными функциями на $X \times X$, которые зануляются на диагонали.
Для каждого элемента $a \in X$, построим оператор $\Delta_a : V^* \to V^*$ через действие
$$\Delta_a f [x \otimes y] = f[x \otimes a] + f[x \otimes b].$$. Положительным или неотрицательным будем называть функционал, который соответственно положителен или неотрицателен на всех элементах базиса вида $[x \otimes y]$. Вполне очевидно, что функционал $d$ будет задавать метрику на $X$, если $d > 0$ и $ d \Delta_a - d \ge 0$ для всех $a \in X$. Понятно, что метрики образуют выпуклый многогранный конус в $V^*$. Но мне стала интересно как устроена его граница. Вроде бы там будут те метрики, где неравенства из определения выполняются как равенства. Понятно, что если есть различные точки $x$ и $y$, где у нас будет $d(x,y)=0$, то у нас будет полуметрика. И часть граней действительно будет состоять из полуметрик. А 0, как метрика задающий кодискретную топологию, будет основанием конуса.
Но будут и другие грани. Интересно рассмотреть ситуацию, когда $ d \Delta_a - d = 0$, для какого-то $a \in X$. И это действительно не совсем грань, а фрагмент аффинного подпространства большей коразмерности. Интересно, что метрики $d$ для которых это выполняется будут собственными функциями оператора $\Delta_a$ c собственным значениям 1. Вообще, интересно как устроен его спектр с точки зрения метрической топологии. Для собственного значения 1, метрика для любой пары различных точек $d(x,y) = d(x,a) + d(a,y)$. заметим, что любая функция $f_a$ c $f_a(x) > 0$ для $x \neq a$ и $f_a(a) = 0$, задаст такую метрику по закону $d(x,y) = 0$ если $x = y$, иначе $d(x,y) = f_a(x) + f_a(y)$. Более того, тут у нас выполняется неравенство треугольника
$$
d(x,y) = f_a(x) + f_a(y) \le f_a(x) + 2f_a(z) + f_a(y) = d(x,z) + d(z,y)
$$
Легко увидит, что у на с получается, что-то вроде топологии типа звезда, когда все элементы соединяются с единственным центральным элементом $a$ и сообщаются друг-с-другом только через него. Нетривиально сойтись в такой топологии можно только к $a$. Также, заметим, что если есть второй центральный элемент, то
$$
d(x,y) = d(x,a) + d(a,y) = d(x,b) + 2d(a,b) + d(b,y) = d(x,y) + 2d(b,a).
$$
Поэтому $d(a,b) =0$, а значит аффинные фрагменты, соответствующие точкам $a$ и $b$ будут пересекаться только в гранях соответствующих полуметрик.
Можно также подумать как устроены собственные функции с другими собственными значениями $\lambda$. Вроде бы можно похожим образом построить метрику как $d(x,y) = \frac{f_a(x) + f_a(y)}{\lambda}$, когда $a \neq x \neq y \neq a$. Но она уже не будет частью границы. Тем более я не думаю, что могут быть метрики с отрицательными или комплексными собственными значениям.
Интересно, можно ли эту геометрию как-нибудь развить, где-нибудь использовать? |
|
|