Пес Ебленский [entries|archive|friends|userinfo] rex_weblen [ website | Наши рисуночки ] [ userinfo | ljr userinfo ] [ archive | journal archive ]

Links [ Links: | update journal edit friends fif tiphareth recent comments ]

Итоги и планы [Oct. 12th, 2021|12:11 am] [Tags | geometry, math, my life ] [ Current Mood | hungry ] [ Current Music | Skeleton Hands - Gone ] Вот и прошел еще один год моей жизни. Хочу подвести итоги и поделиться планами, но только в области изучения математики. Целью я год назад ставил придумать и законспектировать на основе существующих учебников некий аналог курса элементарной геометрии. Главной идеей было строить его как естественное продолжение курса элементарной абстрактной и линейной алгебры с привлечение знаний из курса общей топологии по мере необходимости. Но при этом без кого-нибудь математического анализа! План должен был быть такой: 1) Аффинная и Евклидова Геометрия 2) Геометрия Комплексной Плоскости 3) Проективная геометрия 4) Модели Гиперболической геометрии 5) Выпуклая геометрия 6) Выпуклые Конусы и упорядоченные векторные пространства (эту тему я назвал конической геометрией) По первой теме я выбрал книгу Снаппера и его соавтора, о которой уже писал. Это прост 5 звезд. Книга написана в эпоху New Math, и она Бурбакистская в самом хорошем смысле. Все выводится через пару простых алгебраических теорем, по возможности над произвольным полем, тем не менее материала в книге на два семестра, поэтому, признаюсь, что я так и не доказал все результаты про квадратичные форму, и только повехностно тронул собственно метрическую аффинную геометрию и взгляд на группы движений соответствующих пространств именно как на группы Ли, так как я планировал уложиться только в один семестр. Потом я взялся за изучение геометрии комплексной плоскости. Про это я тоже уже писал. Читал я книгу 'Geometry of complex numbers' Ганса Швердтфегера. Первая часть очень понравилась, там обобщенные прямые в комплексной плоскости отождествлялись с проективизацией векторного пространства Эрмитовых матриц с естественной квадратичной формой, определителем. Почему это проективное пространство легко понять, если вспомнить , что все эти обобщенные прямые возникают при сечении сферы Римана соответствующими плоскостями. Только, если плоскости "промахиваются", то получаются "воображаемая" прямая без точек. Но вот при изучении дробно-линейного преобразования, я столкнулся, наверное первый раз в жизни с выкладками в учебники, которое я не осилил. То есть просто приводится алгебраическое тождество про матрицы 2x2 по сути, и написано, очевидно тип. Но я просто ахуел это все расписывать. В таких ебанутых выкладках, видимо и заключается аналитическая геометрия. А потом еще альтернативное доказательство, типа геометрическое и без алгебры. как будто издеваются! Потому что оно простое, но там тоже нехуя не понятно, почему касательные пространства должны именно так пересекаться. Думаю потом теорему, если будет можно нормально доказать через дифференциальную геометрию. Но по моим правилам, никакого анализа использовать было нельзя! Вскоре после этой темы я эту книгу забросил, там дальше очень много разных формул для того, чтобы считать дробно-линейное преобразование в таких эрмитовых координатах через алгебру матриц. С частью про проективную геометрии все не заладилось. Поэтому я побольшей частью и перестал сюда писать про математику. Так ничего интересного писать сюда было нечего. Долго искала учебник по этой темке. Очень хотел учебник в духе "Metric Affine Geometry". на даже там авторы жалуются, что у них не хватило времени написать главу или отдельную книгу при про проективную геометрию, которая должна была быть логическим продолжением того, что уже было написано. Вот я понадеялась, что кто-то за 40 лет такое и написал. Спойлер: хуй мне! Искал я именно книгу, которая выстраивала все на алгебре в максимально Бурбакистском. При это должна была быть не книга по аксиоматической проективной геометрии (тут много классики) и не по проективной алгебраической геометрии (тут есть современные на любой вкус, кажется). В итоге выбрала книгу Эдуардо Казаса-Альваро "Analytic Projective Geometry". Вроде там все есть, но как-то без огонька. В отличии от моей любимой книги по Аффиной геометрии тут очень неохотно рассматриваются нестандартные (произвольные) поля и бесконечномерный случай. Как будто студенты такого могут испугаться. А для меня это самое интересное. В итоге так и не дочитал, слишком скучно. Отсюда и нулевы результаты в области элементарной гипеболической геометрии. Этот материал я планировал строить на последних главах из книг Казаса-Альваро и Ганса Швердтфегера. Особенно была интересен подход Швердтфегера, который начинался с изучения подгрупп группы Мебиуса. Но большой мотивации добивать Шврдфегера у меня тогда не было, и я пропустил. Кстати, кто нибудь может посоветовать адекватное и интересное изложение геоиетрии гиперболической плоскости и (или) геометрии проективного пространства? Поэтому я сразу перешел к изучению выпуклой геометрии. Для этого я выбрал книгу малоизвестного амерканского математика Ф. Валентайна Convex Geometry. Книга это довольно хорошая, все что можно рассматривается в бескоечномерном контексте с применение простого функана. Это функан, конечно никакой не матанализ, а просто логичное соединение общей топологии и линейной алгебры. Однако это книга все таки совершенно одноэтажная, как и Лос-Анджелес 50-х годов, где она писалась. Поэтому доказывал и разбирал те темы которые были интересны: теорема о азделяющей гиперплоскости, обобщение теоремы Хана-Банаха для выпуклых функций, двойственные конусы, вокруг теоремы Хелли, теорема Красносельского, полярные точки, теорема Крейна-Миллмана и теорема Шоке про крайнии точки. А так там еще много всякой экзотике на которую у мне времени и желания не хватает. По теме коническойй геометрии я взял книгу Cones and Duality. В целом эти погружением я остался не доволен. Так как эта книга оказалась Бурбакисткой в плохом смысле. По сути, это как-раз такое Бурбакистское изложение теории упорядоченных в векторных пространств, что эквивалентно изучению выпуклых конусов. Это заключается в том, что вначале разбираются все виды этой структуры а вкусные результаты вроде оставлены на конец. Тут, например, в первой главе идут все определения без отсылок к топологии, потом во второй главе все стандартные определения про топологические векторные пространства, а потом идет какая-то экзотика от авторов. Хотя, возможно свою роль сыграла моя слабовольность и мне такое изложение показалось утомительным. В всяком случае я прорешал только половину первой главы и пошл дальше, так как мотивации углубляться в эту тему не было. А дальше было вот что. Зачем эту всю элементарную геометрию изучать? Наверное, для того чтобы упрастить и сделать более визуальным изучение алгебраической топологии и дифференциальной геометрии. Поэтому я начал повторять материал лежащий между общей топологией, элементаной геометрией и нормальной алгебраической топологией. Эту тему я бы назвал топологическими многообразиями. Поэтому для дальнейшего чтения я выбрал книгу Topological Manifolds by J. Lee. В целом очень рекоменду. Это книга, на мой взгляд, хорошо дополняет Мишину книшу по Топологии. У Ли очень подробно разжевываются те же топологические многобразия и СW-комплексы. Вся обще-топологическая часть это подробная проработка техники для этих тем. А метрической топологии тут нету почти совсем. Однако, тут есть топологическая теория Галуа, и даже геометрическое знакомство с гомологиями. Отдельно хочется отметить подробное разжевывание темы про полигональные комплексы, знания которой мне очень не хватало. Хотя на мой взгляд эту тему стоит рассматривать уже после групповых вопросов, так как вся нотация там имеет теоретико-групповую мотивацию. Вообще все содержание жтой книге это очень подробное докозательство теоремы про классификацию компактных поверхностей с разными ответлениями. Сам я дочитал до момента где появляются гиперболические комплексы, как вариант полигональных комплексов на клетках (2D), на которых задана гиперболическая метрика. Тут у меня появилась мотивация вернуться к изучению гиперболической геометрии, которую я пропустил. И появилась идея следующего витка гоматрической спирали: 1) Метрическая Афинная геометри по Снапперу 2) Модели гиперболической плоскости по Швердтфегеру 3) Элементы Агебраической Топологии (гомологии) 4) Геометрическая топология Но когда этот виток будет, я не знаю. Так как большой практической нужды в такой топологии у меня нет. А изучаю я ее только для того, чтобы чувствовать себя человеком. Потому что те кто не знают совсем алгебраической топологии те не люди, и скоты. Но для начала я решил пойти по пути аналитической спирали. И стал изучать дескриптивную теорию множеств как подготовку к глубокому нырку в теорию меры. Выбрал себе в качестве учебника Сlassical Descriptive Set Theory Кехриса. В целом от этой книги я в восторге. В целом, пок по моим ощущениям эта наука относится скорее к продвинутой общей топологии, а не теории множеств. Стоит сказать, только про то, что книга начинается с изучения определенных бесконечных топологических деревьев. А потом эти результаты используются для того, чтобы доказывать определенные вещи про "регулярные" топологические пространства через бесконечные пошаговые игры, например, игры Банаха-Мазура и игру Шоке. Также тут много результатов про ноль-мерные пространства (типа множество Кантора) и всяких штук с категорией Бэра. Отсюда я дошел до понятия регулярной открытой алгебры или алгебры открытых областей. Тут потреболось углубить мои знания по булевым алгебрам и я стал читать третий том Фремлина по этой теме. Оказалось, что Фремлин очень хороший. Совершенно бурбакистское изложение теории меры, плюс так книгу, существуют в виде теховских исходников в интернете, есть функция скачать Results Only версию, то есть фактически можно автоматически создать подобие листочка. Пока дошла до теоремы Лумиса-Сикорского и снова до регулярных открытых алгебр. Она говорит, что любую сигма-полную булеву алгебру можно представить как фактор некоторой сигма-алгебры по некоторому сигма-идеалу. Через эту теорему можно, наверное доказать, эквивалентность аксиоматики Колмогорова и логицистской теории вероятности Джейнса. А регулярная открытая влгебра пространства Стоуна булевой алгебры выступает ее пополнение в смысле универсального свойства. Короче, очень интересно. После булевых алгебр, дочитаем дескриптивную теорию множеств. Потом дочитаем алгебраическю теорию меры (третий том Фремлина). Потом буду читать четвертый том Фремлина или второй том Богачева (топологические пространства с мерой). Хочется полностью вылезать все результаты про энтропию, и про условные распределения тоже. У меня уже слюнки текут. Link 31 comments|Leave a comment

Метрическая аффинная геометрия Э. Снаппера и Р. Джей. Троера [Oct. 4th, 2020|06:56 pm] [Tags | book, geometry, math, review ] [ Current Mood | anxious ] [ Current Music | Sorrow Expert - Когда тебе двадцать ] http://libgen.rs/book/index.php?md5=858DF78386F4F7A9BBDF8697C840E348 Не так давно открыл для себя заглавную книгу. Для меня это идеальный учебник аффинной геометрии. Конечно, есть популярные у нас по этой теме книги Прасолов, Кострыкин-Манин, а также курс Городенцева. Но изложение Снаппера и Троера мое любимое, так как тут в наименьшей степени присутствуют связи со школьным курсом геометрии, и в наибольшей степени с курсом абстрактной алгебры. Возможно, старшекласснику или первокурснику с матшкольным бакграундом это не подойдет, так как в качестве пререквизитов требуется знания примерно одного семестра абстрактной алгебры (но это все зависит от программы, но все равно, чем больше известно абстрактной алгебры, тем проще будет читать эту книгу). Однако, я к этой группе людей не отношусь, поэтому меня в большей степени интересуют связи с другими разделами математики, а не возможность использовать хорошее знание школьной программы. Я пока прорешал первую из трех частей этой книги, где речь идет собственно про обычные аффинные пространства. Аффинные пространства тут определяются как множества, на которые сдвигами действует левый модуль над телом. В таких пространствах нет места измерению расстояний и углов, а есть только концепция параллельности. Такое определение позволяет говорить сразу, например, про кватернионовые аффинные пространства. Но пока основным отличием таких пространств становится лишь то, что гомотетии могут менять отношения длин параллельных отрезков. Тут же вместе с коэффициентами растяжения сразу появляются точные последовательности и разговоры про структуру групп. Из интересных вещей, отсюда я узнал, что теорема Паппа, то есть у вырожденного шестигранника параллельность двух пар противоположных сторон влечет параллельность оставшейся пары, выполняется в аффинной плоскости тогда и только тогда, когда ее тело поле. Дальше идет большой раздел про метрические векторные пространства, то есть про ортогональные и симплектические пространства. Тут уже можно рассматривать все темы связанные с длинной и углами. Из общей направленности этой книги я жду увидеть здесь анализ групп O(n) и Sp(n). Сами Авторы пишут, что тут они пересказывают Геометрическую Алгебру Атина с уклоном в геометрическую составляющую. Теорема Вита и все такое. С этими материалами я в определенной степени уже знаком. Интересно, как вся школьная тригонометрия тут конструируется из действия группы O(R,2). Есть еще третья часть, собственно про метрическую аффинную геометрию, где материал двух предыдущих разделов сливается вместе. Такой подход к изложению геометрию в противовес синтетическому, когда все свойства пространства задаются через отношение инцидентности и связанные с ним аксиомы, а также аналитическому, когда на первое место выходят записанные в координатах формулы, я назвал бы структурализмом. К подобному структурализму я бы отнес работу большинства знаменитых Бурбаков. И именно такой подход к математики для меня наиболее привлекателен. Как замечают сами авторы этого опуса, сложность классического изложения евклидовой геометрии заключаются в том, что все свойства поля выводятся из наглядной геометрии. Но при структуралистском подходе, это поле и соответствующие ему векторные пространству просто пристегиваются к геометрии, как нечто внешнее и уже изученное. На мой взгляд, это значительно упрощает изложение. А проблема аналитического подхода как раз в занудных вычислениях в координатах. Эти вычисления, опять же по моему опыту, не нужны во многих ситуациях при достаточном знании той же алгебры. Главным недостатком сами авторы называют отсутствие глав про проективную геометрию. И тут я с ними полностью согласен. Очень был бы рад, если бы вы мне посоветовали бы мне книг по этой науке, написанных в таком же алгебраическом стиле. Link 2 comments|Leave a comment

Граница всех метрических структур, понимаемых как многогранный конус [Jul. 15th, 2020|07:26 pm] [Tags | geometry, linear algebra, math, metric spaces, triviality ] [ Current Mood | sick ] [ Current Music | Обсуждаем марксизм и диалектику с Лексом Кравецким ] Рассмотрим произвольное множество $X$. На базисе из его элементов можно натянуть действительное векторное пространство $\mathbb{R}X$. Тензорный квадрат этого пространства $\mathbb{R}X \otimes \mathbb{R}X$ можно факторизовать так, что выполняются отношения $[x \otimes y] = [y \otimes x]$ и $[x \otimes x]=0$ для $x,y \in X$. Назавем эту факторизацию $V$. Тогда двойственное пространство $V^*$ можно ассоциировать с симметричными функциями на $X \times X$, которые зануляются на диагонали. Для каждого элемента $a \in X$, построим оператор $\Delta_a : V^* \to V^*$ через действие $$\Delta_a f [x \otimes y] = f[x \otimes a] + f[x \otimes b].$$. Положительным или неотрицательным будем называть функционал, который соответственно положителен или неотрицателен на всех элементах базиса вида $[x \otimes y]$. Вполне очевидно, что функционал $d$ будет задавать метрику на $X$, если $d > 0$ и $ d \Delta_a - d \ge 0$ для всех $a \in X$. Понятно, что метрики образуют выпуклый многогранный конус в $V^*$. Но мне стала интересно как устроена его граница. Вроде бы там будут те метрики, где неравенства из определения выполняются как равенства. Понятно, что если есть различные точки $x$ и $y$, где у нас будет $d(x,y)=0$, то у нас будет полуметрика. И часть граней действительно будет состоять из полуметрик. А 0, как метрика задающий кодискретную топологию, будет основанием конуса. Но будут и другие грани. Интересно рассмотреть ситуацию, когда $ d \Delta_a - d = 0$, для какого-то $a \in X$. И это действительно не совсем грань, а фрагмент аффинного подпространства большей коразмерности. Интересно, что метрики $d$ для которых это выполняется будут собственными функциями оператора $\Delta_a$ c собственным значениям 1. Вообще, интересно как устроен его спектр с точки зрения метрической топологии. Для собственного значения 1, метрика для любой пары различных точек $d(x,y) = d(x,a) + d(a,y)$. заметим, что любая функция $f_a$ c $f_a(x) > 0$ для $x \neq a$ и $f_a(a) = 0$, задаст такую метрику по закону $d(x,y) = 0$ если $x = y$, иначе $d(x,y) = f_a(x) + f_a(y)$. Более того, тут у нас выполняется неравенство треугольника $$ d(x,y) = f_a(x) + f_a(y) \le f_a(x) + 2f_a(z) + f_a(y) = d(x,z) + d(z,y) $$ Легко увидит, что у на с получается, что-то вроде топологии типа звезда, когда все элементы соединяются с единственным центральным элементом $a$ и сообщаются друг-с-другом только через него. Нетривиально сойтись в такой топологии можно только к $a$. Также, заметим, что если есть второй центральный элемент, то $$ d(x,y) = d(x,a) + d(a,y) = d(x,b) + 2d(a,b) + d(b,y) = d(x,y) + 2d(b,a). $$ Поэтому $d(a,b) =0$, а значит аффинные фрагменты, соответствующие точкам $a$ и $b$ будут пересекаться только в гранях соответствующих полуметрик. Можно также подумать как устроены собственные функции с другими собственными значениями $\lambda$. Вроде бы можно похожим образом построить метрику как $d(x,y) = \frac{f_a(x) + f_a(y)}{\lambda}$, когда $a \neq x \neq y \neq a$. Но она уже не будет частью границы. Тем более я не думаю, что могут быть метрики с отрицательными или комплексными собственными значениям. Интересно, можно ли эту геометрию как-нибудь развить, где-нибудь использовать? Link 22 comments|Leave a comment

Вложение Плюккера [Dec. 22nd, 2019|11:44 pm] [Tags | algebra, geometry, math ] [ Current Mood | amused ] [ Current Music | Purple Mountains ] Недавно осознал очень простую вещь. В мультилинейной алгебре есть соотношение есть квадратичное соотношение, которое определяет, когда однородный элемент внешней алгебры является разложимым. Короче, у этого соотношения есть геометрическая интерпретация. Каждый элемент Грассманина, то-есть n-мерное подпространство, можно как-раз представить как внешнее произведения образующих векторов с точностью до умножения на скаляр. Таким образом получим вложение грассманиана в проективизацию внешней степени соответствующей размерности. И вот это квадратичное соотношения и описывает это вложение уже как проективное подмногообразие. И это вложение называется вложением Плюккера, а соотношение, как ни странно, уравнением Плюккера. Причем, про последние в интернете написано очень мало, но долгое время, как-раз наоборот, были известны только уравнения. Что интересно, эти соотношения Плюккера как раз задаются внутренним умножением на элемент Грасманновой алгебры (Я так называю градуированное двойственное к внешней алгебре) степени на единицу меньше n, а потом внешним умножением на самого себя. Видимо, отсюда и проистекает связь межу Грассмановой алгеброй и Грасманнианом. А раньше мне казалось, что ее нет. Link 38 comments|Leave a comment

navigation [ viewing | most recent entries ]