Пес Ебленский - Граница всех метрических структур, понимаемых как многогранный конус [entries|archive|friends|userinfo]
rex_weblen

[ website | Наши рисуночки ]
[ userinfo | ljr userinfo ]
[ archive | journal archive ]

Links
[Links:| update journal edit friends fif tiphareth recent comments ]

Граница всех метрических структур, понимаемых как многогранный конус [Jul. 15th, 2020|07:26 pm]
Previous Entry Add to Memories Tell A Friend Next Entry
[Tags|, , , , ]
[Current Mood | sick]
[Current Music |Обсуждаем марксизм и диалектику с Лексом Кравецким]

Рассмотрим произвольное множество $X$. На базисе из его элементов можно натянуть действительное векторное пространство $\mathbb{R}X$. Тензорный квадрат этого пространства $\mathbb{R}X \otimes \mathbb{R}X$ можно факторизовать так, что выполняются отношения $[x \otimes y] = [y \otimes x]$ и $[x \otimes x]=0$ для $x,y \in X$. Назавем эту факторизацию $V$. Тогда двойственное пространство $V^*$ можно ассоциировать с симметричными функциями на $X \times X$, которые зануляются на диагонали.

Для каждого элемента $a \in X$, построим оператор $\Delta_a : V^* \to V^*$ через действие
$$\Delta_a f [x \otimes y] = f[x \otimes a] + f[x \otimes b].$$. Положительным или неотрицательным будем называть функционал, который соответственно положителен или неотрицателен на всех элементах базиса вида $[x \otimes y]$. Вполне очевидно, что функционал $d$ будет задавать метрику на $X$, если $d > 0$ и $ d \Delta_a - d \ge 0$ для всех $a \in X$. Понятно, что метрики образуют выпуклый многогранный конус в $V^*$. Но мне стала интересно как устроена его граница. Вроде бы там будут те метрики, где неравенства из определения выполняются как равенства. Понятно, что если есть различные точки $x$ и $y$, где у нас будет $d(x,y)=0$, то у нас будет полуметрика. И часть граней действительно будет состоять из полуметрик. А 0, как метрика задающий кодискретную топологию, будет основанием конуса.

Но будут и другие грани. Интересно рассмотреть ситуацию, когда $ d \Delta_a - d = 0$, для какого-то $a \in X$. И это действительно не совсем грань, а фрагмент аффинного подпространства большей коразмерности. Интересно, что метрики $d$ для которых это выполняется будут собственными функциями оператора $\Delta_a$ c собственным значениям 1. Вообще, интересно как устроен его спектр с точки зрения метрической топологии. Для собственного значения 1, метрика для любой пары различных точек $d(x,y) = d(x,a) + d(a,y)$. заметим, что любая функция $f_a$ c $f_a(x) > 0$ для $x \neq a$ и $f_a(a) = 0$, задаст такую метрику по закону $d(x,y) = 0$ если $x = y$, иначе $d(x,y) = f_a(x) + f_a(y)$. Более того, тут у нас выполняется неравенство треугольника

$$
d(x,y) = f_a(x) + f_a(y) \le f_a(x) + 2f_a(z) + f_a(y) = d(x,z) + d(z,y)
$$

Легко увидит, что у на с получается, что-то вроде топологии типа звезда, когда все элементы соединяются с единственным центральным элементом $a$ и сообщаются друг-с-другом только через него. Нетривиально сойтись в такой топологии можно только к $a$. Также, заметим, что если есть второй центральный элемент, то

$$
d(x,y) = d(x,a) + d(a,y) = d(x,b) + 2d(a,b) + d(b,y) = d(x,y) + 2d(b,a).
$$

Поэтому $d(a,b) =0$, а значит аффинные фрагменты, соответствующие точкам $a$ и $b$ будут пересекаться только в гранях соответствующих полуметрик.

Можно также подумать как устроены собственные функции с другими собственными значениями $\lambda$. Вроде бы можно похожим образом построить метрику как $d(x,y) = \frac{f_a(x) + f_a(y)}{\lambda}$, когда $a \neq x \neq y \neq a$. Но она уже не будет частью границы. Тем более я не думаю, что могут быть метрики с отрицательными или комплексными собственными значениям.

Интересно, можно ли эту геометрию как-нибудь развить, где-нибудь использовать?
LinkLeave a comment

Comments:
From:(Anonymous)
Date:July 15th, 2020 - 07:25 pm
(Link)
хуета
[User Picture]
From:[info]oort
Date:July 15th, 2020 - 07:34 pm
(Link)
>можно факторизовать так, что выполняются отношения $[x \otimes y] = [y \otimes x]$ и $[x \otimes x]$.

не понял, второе соотношение это x^2=0?

тогда любой элемент такого фактора симметричный и антисемметричный, то есть равен нулю.
[User Picture]
From:[info]oort
Date:July 15th, 2020 - 07:41 pm
(Link)
симметричная билинейна форма определяется значением на диагонали, то есть твое $V^*$ будет нулем.
From:(Anonymous)
Date:July 15th, 2020 - 08:04 pm
(Link)
Ему похуй, тоже мне математика нашел.
[User Picture]
From:[info]kaledin
Date:July 15th, 2020 - 09:28 pm
(Link)
У него базис выбран же. И это соотношение только для базисных векторов.
From:(Anonymous)
Date:July 16th, 2020 - 08:12 am
(Link)
Два математика шли домой с двумя черными мешками говна. Им надо было переходить через железную дорогу. Они думали, что машина далеко, взлезли на насыпь и пошли через рельсы. Вдруг зашумела машина. Математик Калоедин pobezhal nazad, а бородатый математик Мойша перебежал через дорогу. Математик Калоедин zakrichal бородатому: Nye hodi nazad! Но машина была так близко и так громко шумела, что бородатый математик не расслышал; он подумал, что ему велят бежать назад. Он побежал назад через рельсы, споткнулся, выронил говно и стал подбирать его. Машина уже была близко, и машинист Лейбов свистел в хуй что было силы. Математик Калоедин krichal: Bros' govno!, а математик Мойша думал, что ему велят собрать говно, и ползал по дороге. Машинист Лейбов был очень глупый и не мог удержать машины. Он свистал в хуй изо всех сил и наехал на математика. Математик Калоедин krichal и plakal. Все проезжающие смотрели из окон вагонов, а кондуктор Вениамин побежал на конец поезда, чтобы видеть, что сделалось с математиком. Когда поезд прошел, все увидали, что математик лежит между рельсами головой вниз, ест говно и смеется. Потом, когда поезд уже отъехал далеко, математик Мойша поднял голову, вскочил на колени, собрал говно и побежал к коллеге. Так я впервые увидел математика Вербицкого.
From:(Anonymous)
Date:July 16th, 2020 - 12:02 pm
(Link)
каждому лектору в жопу по вектору!
а тебе калоедин целых три
[User Picture]
From:[info]rex_weblen
Date:July 15th, 2020 - 09:39 pm
(Link)
Я виноват в том, что я не дописал предложение, но я все равно считаю, что я прав. И это симметризация и анти-симметризация только относительно определенного базиса. То есть
$$[(x + y) \otimes (x + y)] = 2[x \otimes y] \neq 0 $$
если $x,y \in X$ и $x \neq y$.

Это не правда в моем случае, можно задать билинейную форму $f$ c $f(e_1,e_1) = 0 $ и $f(e_2,e_2) = 0 $, и $f(e_1,e_2)= f(e_2,e_1) = 1$ и это будет не 0, хотя 0 имеет те же значения на диагонале. Ты перепутал, это утверждение с тем, что любая симметричная форма может быть приведена к диагональному виду. И значениями на диагонале она будет определяться только в конкретном базисе.
[User Picture]
From:[info]rex_weblen
Date:July 15th, 2020 - 08:04 pm
(Link)
Да

Я думал про это, но там нет алгебраической структуры, поэтому эта теорема не работает в эту сторону.

Вот, например, если в множестве было всего два элемента, то получится 4-х мерное тензорное произведение, которое факторизуется по 3-м отношениям. В итоге получается 1-мерное векторное пространство, а оно не может быть нулевым.

В общем, если брать конечное множество, то будет получаться размерность $\frac{n(n-1)}{2}$. Столько же, сколько ребер в полном графе. Поэтому 0 оно не будет.
[User Picture]
From:[info]oort
Date:July 15th, 2020 - 09:44 pm
(Link)
а, то есть ты рассматриваешь твои симметрические функции с нулем на диагонали на X times X (они образуют линейное пространство), a потом смотришь какой конус вырезают неравенства треугольника в этом пространстве.
[User Picture]
From:[info]rex_weblen
Date:July 15th, 2020 - 09:53 pm
(Link)
да
[User Picture]
From:[info]oort
Date:July 15th, 2020 - 10:34 pm
(Link)
и этот конус будет пересечением открытого положительного октанта (который задает невырожденность и положительность метрики) и замкнутого конуса заданного неравенствами треугольника. и этот конус будет ни замкнутым (всегда можно две точки делать как угодно близкими к друг другу и предел не будет метрикой) ни открытым. замыкание этого конуса будет состоять из полуметрик. граница старшей размерности будет состоять из полуметрик в которых есть ровно одна тройка точек на которых выполняется равенство треугольника (будем называть их коллинеарными, понимая что некоторые точки могут схлопываться), потом если есть две коллинеарные тройки и тд. минимальная грань (которая принадлежит конусу) будет соответсвовать случаю когда все точки коллинеарны. размерность такой минимальной грани должна быть по идее N-1.

для случая трех точек вроде работает: пространство трехмерно, конус метрик это положительный октант персеченный с одним полупространством. граница будет состоять из 4 2-мерных кусков, 3 соответсвуют вырождениям метрики, и 1 -- равенству треугольника
[User Picture]
From:[info]rex_weblen
Date:July 16th, 2020 - 10:03 am
(Link)
Да если все точки коллинеарны, то метрика будет их все склеивать, то есть везде равна нулю. А это и есть вершина конуса.

Интересно, теперь понять как утроена внутренность. Во внутренности у иетрик не будет коллинеарных троек. Вроде бы во всех разумных пространствах, где есть какая-то интересная дополнительная структура они есть. То есть лежат совершенно неструктурированные 'cлучайные' метрики. Или не совсем случайные. Ну например окружность, с внешней метрикой будет там лежать, а с геодезической уже на границе.
[User Picture]
From:[info]oort
Date:July 16th, 2020 - 07:36 pm
(Link)
>Да если все точки коллинеарны, то метрика будет их все склеивать

нет, если множество является подмножеством прямой с индуцированной метрикой, все тройки точек будут удовлетворять равенству треугольника. это будет наименьшая "замкнутая" грань.

на самом деле не исключено что внутренность моэно описать в терминах невохможности изометрических вложений в R^n, потому что там не могут реализовываться произвольные наборы расстояний
From:(Anonymous)
Date:July 15th, 2020 - 07:56 pm
(Link)
Рассмотри мой хуй у себя в анусе
[User Picture]
From:[info]rex_weblen
Date:July 15th, 2020 - 08:46 pm
(Link)
Хотелось бы, но он микроскопический.

Невооруженным взглядом не видно.
From:(Anonymous)
Date:July 15th, 2020 - 10:13 pm
(Link)
У тебя очко раздолбано на чёрную дыру прост
[User Picture]
From:[info]rex_weblen
Date:July 15th, 2020 - 10:23 pm
(Link)
Если бы мое очко было бы раздолбано на чёрную дыру, то вы б меня не видели за горизонтом событий.
From:(Anonymous)
Date:July 15th, 2020 - 10:24 pm
(Link)
анонимные проекции как всегда
From:(Anonymous)
Date:July 16th, 2020 - 07:10 am
(Link)
у тебя глаза на жопе чтоль, как у калоедина?
From:(Anonymous)
Date:July 15th, 2020 - 09:12 pm
(Link)
многогранный анус оконфузившегося фурфага
[User Picture]
From:[info]rex_weblen
Date:July 15th, 2020 - 09:23 pm
(Link)
Я до сих пор считаю, что я прав.

Единственное место где я оконфузился это в том, что я не дописал предложение.