 Концептуальное математическое искусство. | Oct. 14th, 2005 @ 11:14 pm  |
|---|
Т.е. можно в ZF заменить аксиому бесконечности на её отрицание, и мы получим теорию конечных множеств (фактически, комбинаторику). В её рамках невозможно доказать (в этом состоит сама теорема) некий не такой уж сложный факт в духе теории Рамсея. Но он легко доказуем при помощи леммы Кёнига, использующей понятие бесконечного, но ничуть не менее убедительной, чем сама финитно-комбинаторная система. В этом смысле можно считать теорему "истинной" (с позиции естествоиспытателя).
Вот мне не очень понятно, почему эту еорему можно считать подтверждением "существования" бесконечного множества. Почему бы ей не свидетельствовать о том, что на самом деле неполно представление о конечном, что люди проглядели некоторые фундаментальные свойства конечных множеств?
Я как раз выступаю за то, чтобы рассматривать всевозможные допустимые подходы, а не ограничиваться "классикой". В конце концов, "классика" тоже была когда-то и кем-то придумана. Поэтому никому не запрещается развивать альтернативные подходы.
Косвенное свидетельство о "существовании" бесконечного множества имеет силу только в пределах некоторой уже принятой концепции. Оно ни в коей мере не является абсолютным. Более того, саму теорию множеств, которые мы называем "конечными", совсем не обязательно строить так, как это принято. Я выше уже приводил пример Вопенки, который всю математику построил на базе "конечного" в понимании, отличающемся от классического. В этом смысле я согласен с тем, что на вещи можно смотреть и так, как сказано в Вашей последней фразе.
В журнале юзера sowa есть довольно давний пост о теореме Лёвенгейма - Сколема. Его не так трудно найти, отмотав назад записей 20. В конце там у нас развернулась с Совой довольно интересная дискуссия вокруг близких вопросов. Загляните, если интересно. Дискуссию я хотел бы продолжить, но пока не могу выкроить достаточно времени, чтобы как-то упорядочить обсуждаемые темы и высказаться более развёрнуто.
![[User Picture Icon]](http://lj.rossia.org/userpic/31709/2147485505) |
|
|
|
некоторый оффтопик :)
|
(Link) |
|
Такой вопрос(может простой совсем):
Вот пусть у нас есть вложения:
A\subseteq B \subseteq k[x_1,...,x_l]
k-- некоторое поле, A, B -- под k-алгебры,
b_1,..,b_l -- мономы из B
Что можно тогда сказать об алгоритмической разрешимости следующей проблемы:
Существуют такие a_1,...,a_l из A, что:
\sum_{i=1}^la_i*b_i=0, при этом никакая подсумма нулю не равна.
![[User Picture Icon]](http://lj.rossia.org/userpic/4033/2147484947) |
| From: | ![[info]](http://lj.rossia.org/img/imported-profile.gif) falcao@lj |
|---|
| Date: |
August 4th, 2006 - 11:57 am |
|---|
|
|
уточнения
|
(Link) |
|
Поскольку речь об алгоритмической проблеме, надо уточнить, в каком виде задаётся k-подалгебра A. То есть, можно ли, скажем, считать, что она задана конечным набором порождающих? Существенно ли, что это именно подалгебра, а не просто k-подпространство (такой вопрос тоже имел бы смысл)?
Подалгебра B здесь вроде как лишняя -- если задана A и даны мономы, то в качестве B можно взять всю алгебру многочленов.
Ограничение на поле вряд ли очень важно, но формально это тоже надо оговорить, так как по умолчанию мы работаем с "финитными" объектами.
Я кажется немного наврал с формулировкой:
A,B-- конечно порождены. В B-- фиксирована конечная система образующих.
b_1,...,b_l-- мономы в B, относительно этой системы образующих B.
Поле $k$-- из какого-нибудь класса включающего алгебраически замкнутые характеристики 0.
B, кажется не лишняя, например-- для элементов каких-то подалгебр задача может быть разрешима, а для других нет?..
т.е. существенен ответ на вопрос типа "Алгоритмически разрешима ли проблема для любого набора мономов из B в заданной системе образующих"
Наконец, то что A-- подалгебра-- существенно. Все подалгебры предполагаются содержащими 1.
1 -- считается B-мономом
Так, кажется последнее: фиксирована система образующих B, как A-алгебры.
|
|
![[info]](http://lj.rossia.org/img/userinfo.gif){kind=small}