Настроение:	sick
Музыка:	H.E.R.R. -- Fire And Glass: A Norwood Tragedy
Entry tags:	math, mccme

Топология и комплексный анализ на кривой
Второму курсу НМУ осенью лекций я читать
таки не буду, увы. Я хотел (и даже составил
программу), но не склалось, по независящим
обстоятельствам. Я в шоке, честно говоря.

Вот программа, для исторического интересу.

Составлена таким образом из-за того, что
без интимного знакомства с теоремой Стокса
читать алгебраическую топологию проблематично.
Соответственно получился курс не топологии, а
чего-то вроде "теорема Стокса и ее приложения".

Третий семестр (второй курс).
Топология и комплексный анализ на кривой.

Исходим из того, что материал пунктов 1-4
отчасти был в лекциях Шейнмана. Теорема Арцела-Асколи
и открыто-компактная топология была в прошлом
семестре в курсе топологии. Теорема Вейерштрасса
о равномерной сходимости была и в курсе топологии,
и в курсе анализа.

От студентов требуется знакомства с основами
топологии, метрической геометрии и многомерного
анализа, или готовность все это быстро выучить
по материалам лекций за 2-й семестр и учебнику
анализа (Зорича или Лорана Шварца).

1. Многообразия, карты и атласы, диффеоморфизм,
разбиение единицы, теорема Уитни о вложении
многообразия в $\R^n$, паракомпактность.

2. Алгебры, заданные образующими
и соотношениями, алгебра Грассмана,
определитель, алгебра Клиффорда, кватернионы,
диффеоморфизм $SO(3)=\R P^3$.

3. Расслоения, касательные расслоения,
расслоения дифференциальных форм, производная Ли,
мера Бореля, гладкая мера, интегрирование
дифференциальных форм на $\R^n$.

4. Дифференциал де Рама, лемма Пуанкаре, теорема
Стокса, когомологии многообразий.

5. Комплексное многообразие, почти комплексное
многообразие, (p,q)-разложение на дифференциальных формах,
голоморфные функции, теорема Коши, вычисление
несобственных интегралов посредством вычетов.

6. Комплексно-аналитические функции на кривой,
разложение в ряд Тэйлора, гармонические функции
на кривой, лемма Шварца.

7. Теорема Арцела-Асколи. Открыто-компактная топология.
Теорема Римана об униформизации и теорема Пикара.

8. Нигде не зануляющаяся целая функция является
композицией функции с экспонентой. Риманова поверхность
алгебраической функции и теория Галуа.

9. (*) Униформизация плоскости без трех точек, пе-функция
Вейерштрасса, j-инвариант эллиптической кривой.

10. Римановы многообразия, конформные структуры,
гиперболические римановы поверхности, метрика Пуанкаре,
невозрастание метрики Пуанкаре при голоморфных
отображениях.

11. Классификация изометрий плоскости Лобачевского.
Фуксовы группы. Голоморфные автоморфизмы римановой
сферы и преобразования Мебиуса.

11. (*) Нормальные семейства отображений.
Голоморфная динамика на римановой сфере:
притягивающие, отталкивающие точки, множество
Фату и множество Жюлиа.

12. (*) Самоподобие и непустота множества Жюлиа для
рационального отображения степени > 1.

Темы, помеченные (*), могут быть пропущены,
или рассказаны частично.