Настроение:	tired
Музыка:	Karjalan Sissit - Fucking Whore Society
Entry tags:	math, mccme

Кривизна Риччи и топология
Вот, кстати, синопсис курса для более продвинутых
студентов, который я буду читать в НМУ весной.

Кривизна Риччи и топология

Дифференциально-геометрические методы в топологии
успешно применяются со времен Пуанкаре. В последние
30 лет дифференциальная геометрия превратилась в
один из главных методов топологии, ставший особенно
популярным после работ Громова и Перельмана. Центральной
темой в этой деятельности является извлечение
топологической информации из оценок на кривизну
Риччи. Я расскажу про основные применения кривизны
Риччи и дам краткий очерк доказательства Перельмана
гипотезы Пуанкаре. Курс рассчитан на аспирантов и
старшекурсников; от слушателей предполагается
знакомство с основами топологии (когомологии,
накрытия, фундаментальная группа) и дифференциальной
геометрии (связности, кривизна, геодезические).

1. Связность Леви-Чивита (существование, единственность).
Кривизна Риччи. Разложение тензора кривизны.

2. Неравенство Бишопа-Громова и теорема Майерса.

3. Функции Буземанна. Теорема Чигера-Громолла о разложении.

4. Метрика Громова-Хаусдорфа. Теорема Громова о
компактности: множество многообразий с ограниченным
сверху диаметром и ограниченной снизу кривизной Риччи
прекомпактно в топологии Громова-Хаусдорфа.

5. (*) Теорема Перельмана о стабильности.

6. Потоки Риччи и схема доказательства теоремы Пуанкаре.

7. (*) Потоки Риччи на двумерных многообразиях (Гамильтон).

8. (*) Инвариант Перельмана и инвариант Ямабе.

Про (*) расскажу, если хватит времени.

Полезные книжки: "Теория Морса" Милнора
и "Знак и геометрический смысл кривизны" Громова.

* * *

Читал, кстати, для подготовки к курсу томище
Моргана-Тиана и остался совершенно недоволен.
Граждане чрезвычайно уважаемые, конечно, но
они свели кучу красивых идей к техническим
трюкам, и получили книжку в стиле "элементарные
задачи в неэлементарном изложении". Причем в
геометрии подобные силовые методы приводят
к чрезвычайно некрасивым результатам,
потому что приходится писать координаты,
рисовать шапочки и делать хирургию руками.

Привет