Мелкие придирки...

"ЗАМЕЧАНИЕ: Легко видеть, что любая алгебраическая функция
комплексно дифференцируема (синонимы: голоморфна, комплексно-
аналитична).
УПРАЖНЕНИЕ: Постройте голоморфную функцию на C, которая не
алгебраична. Докажите ее неалгебраичность."

Вы не определили до этого алгебраическую функцию (только рациональную функцию и алгебраическое отображение).

"1. Докажите, что образ A^nD(f) в C^n задается уравнениями..."

в C^n+1.

"Шаг 5: Последовательность {a_i} из шага 3"

Из шага 4.

стр.13: "мы пишем S1 <=, если" пропущено x: "мы пишем S1 <= x, если"

"Поскольку кольцо O_A порождено координатными мономами, оно
счетномерно как векторное пространство над C."

Возможно, я что-то упускаю, но это кажется неверным; поскольку O_A определено как кольцо рациональных функций, оно включает в себя в частности несчетное кол-во разных 1/(x-a). Вы нигде не вводите полиномиальное кольцо над A (C[x_1...x_n]/I(A)), но по-моему, именно оно требуется для этого док-ва (оно счетномерно, его делим на I, итд.). Я полный профан в этом и знаю только самый минимум базисных знаний, так что может говорю глупости, но так мне показалось.