tiphareth: Whitehead manifold

Настроение:	tired
Музыка:	Calabi-Yau manifolds modelled on cones
Entry tags:	math

Whitehead manifold
Рассматривая фотографию с конференции,
сообразил, что (из 30-50 что ли человек
слушавших лекции) не было ни одного женского математика.
Торжество половой сегрегации! Не уважаю.

А вот прекрасное, со вчерашнего доклада.
http://arxiv.org/abs/1001.1458
Оказывается, есть огромное (континуальное)
множество стягиваемых, попарно негомеоморфных некомпактных
3-многообразий. Если их помножить на R, получается
многообразие, гомеоморфное R^4.

В отличие от компактных многообразий (с краем или без),
которые успешно закрыты Перельманом, про открытые многообразия
науке совершенно ничего неизвестно.

Гладкие структуры на R^4 имеют
непрерывные модули; интересно, есть ли непрерывные
модули у открытых 3-многообразий. Вполне возможно,
что есть.

Есть два довольно простых способа строить
такие многообразия. Первый - взять бесконечное
дерево, и рассмотреть связную сумму компактных асферических
3-многообразий, индексированных вершинами дерева;
универсальное накрытие полученного многообразия будет
всегда стягиваемо, но коль скоро разных деревьев
континуум, это позволяет строить континуальное
количество разных многообразий.

Второй способ называется "многообразие Уайтхеда":
http://en.wikipedia.org/wiki/Whitehead_manifold
Надо взять полноторие, в него просунуть еще
одно полноторие, связанное в unknot, таким
образом, что петля, порождающая фундаментальную
группу дополнения к первому полноторию, стягивается
в дополнении ко второму. Во второе засунуть еще
одно полноторие, и так далее. Многообразие Уайтхеда
есть 3-мерная сфера, из которой вырезано пересечение
всех этих полноторий. Оно по построению односвязно,
и теорема Уайтхеда о слабой эквивалентности
влечет стягиваемость.

Поскольку способов выбрать незаузленное полноторие
(или несколько полноторий) весьма много, это дает
континуальное количество разных многообразий
Уайтхеда; оказывается, они по большей части
не эквивалентны.

Коллеги пытаются изучать потоки Риччи на таких
многообразиях; очень интересно.

Привет

Update: таки диффеоморфно R^4.
Вот тут подробности
http://arxiv.org/abs/1201.6070
Спасибо Немировскому.

(Читать комментарии) - (Добавить комментарий)

	kaledin 2012-08-09 09:48 (ссылка)
	>Вполне возможно, что есть. В каком смысле модули? (Ответить) (Ветвь дискуссии)

tiphareth
2012-08-09 09:57 (ссылка)

Это интересный вопрос, на который я не умею ответить.
Есть семейство попарно неизоморфных гладких структур на R^4, параметризованное R^2
(Gompf, по-моему). У Гомпфа они все были комплексные и штейновы, так что получалось пространство
модулей штейновых многообразий, что вполне осмысленно.
Но потом были найдены и другие семейства, уже не штейновы,
и в каком смысле можно говорить про "модули", непонятно.

Может, имеет смысл посмотреть на пространство метрик с точностью
до билипшицевой эквивалетности. Но вообще, я тут совершенно не в теме, увы.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

kaledin
2012-08-09 10:11 (ссылка)

>Есть семейство попарно неизоморфных гладких структур

Не, ну здесь-то хотя бы понятно, что такое семейство. А если даже топология меняется?

На мой непросвещенный взгляд, вопрос в текущей формулировке вглухую некорректный -- отчасти потому, что само понятие некомпактного многообразия без каких-либо условий на бесконечности вообще сомнительное... надо плясать от примеров, и пытаться задать корректный вопрос. Но какие ты привел, они скорее в дискретную сторону, тотально-несвязное что-нибудь там.

А очевидно, что универсальное накрытие для разных деревьев будет разное?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

tiphareth
2012-08-09 10:42 (ссылка)

у меня было такое соображение (возможно, дурацкое).
стягиваемые 3-многообразия, будучи умножены на R, дают нечто
гомеоморфное R^4; возможно, гладкая структура на полученном
R^4 различает 3-многообразия. Но гладкие структуры на R^4
(вероятно) имеют непрерывные пространства модулей. Это может
дать непрерывные модули и для 3-многообразий.

(Ответить) (Уровень выше)

	tiphareth 2012-08-09 10:44 (ссылка)
	>А очевидно, что универсальное накрытие для разных деревьев будет разное? можно же сферу каждый раз брать получится что-то односвязное сразу (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

monroth
2012-08-10 12:36 (ссылка)

Нельзя. Берем дерево - бесконечную цепочку (вершины - целые числа, ребром соеденины соседние). Берем связную сумму по этому графу компактных многообразий. Отображаем S^2 в одну из S^2 по которой многообразия клеятся. [кажется] оно всегда будет негомотопно отображению в точку, и если взять все многообразия - сферы, то оно точно будет негомотопно отображению в точку, так как получится произведение S^2*R, и отображение сферы - образующая Pi2.
И, кстати, почему произведение стягиваемого на R дает R^3?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	tiphareth 2012-08-10 13:46 (ссылка)
	ничего не понял (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

monroth
2012-08-10 13:59 (ссылка)

если взять связную сумму S^3 в следующем графе - ... -*-*-*-*-*- ... то есть бесконечном связном графе, степень каждой вершины которого два, то S^2*R, что односвязно, но не стягиваемо
далее, как оно строится - берется куча трехмерных сфер, из них вырезаются трехмерные диски, и по границам этих дисков (которые суть двумерные сферы) они друг к другу клеятся. Мне кажется правдоподобным, что отображение двумерной сферы в эту связную сумму, которое двумерную сферу отправляет в одну из двумерных сфер по которым эти куски клеятся не гомотопно тождественному, даже если мы изначально клеили не трехмерные сферы, а что-то другое (ну мол, если уж когда мы клеим сферы, то получившееся отображение не гомотопно нулю (т.к. это отображение есть образующая П_2), то если мы будем клеить что-то более хитрое, то препятствий наверное будет еще больше).
То есть, не ясно почему даже если взять изначально асферичные многообразия и начать их клеить таким образом, то у результата склейки вполне могут как минимум вторые гомотопические группы.
Вопрос о том, почему стягиваемое трехмерное многообразие после умножения на R дает R^4 остается в силе.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

tiphareth
2012-08-10 20:34 (ссылка)

>Вопрос о том, почему стягиваемое трехмерное многообразие после умножения на
>R дает R^4 остается в силе.

а я не знаю

насчет графа -*-*-*-*-*-, само собой
впрочем, для других деревьев все (часто или всегда) ОК, вроде бы

(Ответить) (Уровень выше)

(Анонимно)
2012-08-09 13:13 (ссылка)

>>Не, ну здесь-то хотя бы понятно, что такое семейство. А если даже топология меняется?

не совсем в тему, просто почему то напомнило - в научно-популярной книжке ( название забыл) Брайан Грин немного спекулировал на тему непрерывных семейств Калаби-Яу с меняющейся топологией. Точнее он хотел бы знать - как такое возможно и в каком смысле.

Мотивация следующая примерно, как я понял ( извиняюсь если переврал ): вот есть два дуальных многообразия Калаби-Яу с разной топологией. Допустим одно из них как раз дает компактификацию 6 измерений нашего пространства в реальности. Теперь гипотетически глянем в сверхмощный ускоритель частиц и " разглядим" его топологию. Но как тогда быть с двойственным многообразием, которое дает изоморфную физику? Если его просто отбросить за ненадобностью то получится некрасивая теория, так как непонятно как природа сделала свой выбор конкретно на данном Калаби-Яу.

Ну и Грин спекулирует типа а вдруг есть непрерывная математическая конструкция которая позволяет изменение топологии, типа как обычные непрерывные модули позволяют изменение комплексной структуры или гладкой итп. Если такое придумают это конечно будет разрыв мозга от красоты.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

(Анонимно)
2012-08-09 17:31 (ссылка)

Ты нихуя не понял. Суть дуальности - в том, что "физика" на дуальных многообразиях Калаби-Яу эквивалентна, т.е. с помощью "ускорителей" и прочих физических приборов ты нихуя не отличишь данное конкретное компактное пространство от его дуали. Впрочем, тогда вопрос "как природа сделала свой выбор конкретно на данном Калаби-Яу" лишь переформулируется в "как природа сделала свой выбор конкретно на данной зеркальной паре Калаби-Яу". Проблема ландшафта, да.

>а вдруг есть непрерывная математическая конструкция которая позволяет изменение топологии
Вот почитай:
http://arxiv.org/pdf/1102.1428.pdf

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

(Анонимно)
2012-08-10 11:41 (ссылка)

"как природа сделала свой выбор конкретно на данной зеркальной паре Калаби-Яу"

не, он точно не это имел ввиду. Там именно речь шла о том, что два дуальных должны выглядеть одним и тем же, но как они могут выглядеть одним и тем же если разная топология.( под рукой книжки нет, сегодня посмотрю точнее).

то есть проблема не в том, что есть слишком много разных Калаби-Яу. То есть, это конечно проблема, но другая.
я сегодня посмотрю и напишу.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

(Анонимно)
2012-08-10 16:42 (ссылка)

>как они могут выглядеть одним и тем же если разная топология

Как я понимаю, топологию мы "меряем" тем, что у нас есть в наличии (e.g. частицы в коллайдере), а эти частицы (струны/браны/etc) на дуальных многообразиях ведут себя одинаково. Такие дела.

Еще слышал про то, что есть дуальность десятимерной теории струн и одиннадцатимерной М-теории. Тогда получается, что дуальная пара шестимерных Калаби-Яу в свою очередь дуальна паре семимерных G2-многообразий, также дуальных друг другу. Вот для примера статья Атьи et al:
http://arxiv.org/pdf/hep-th/0011256v2.pdf

(Ответить) (Уровень выше)

(Читать комментарии) -