tiphareth: верхний пост

(Читать комментарии) - (Добавить комментарий)

(Анонимно)
2017-04-17 11:05 (ссылка)

http://dxdy.ru/topic117119-165.html
Смешной срач про теорию категорий.

Миша, а что бы вы ответили на просьбу показать "новый, интересный и существенный результат в математике, который был доказан именно средствами теории категорий, но сам этот результат не относится к теории категорий"?

Я пытаюсь придумать что-то настолько же эффектное, насколько эффектным было канторовское доказательство существования трансцендентных чисел, но не получается.

(Ответить) (Ветвь дискуссии)

tiphareth
2017-04-17 13:40 (ссылка)

нету такого
теория категорий это не наука, а язык
в ней нет теорем, кроме леммы Ионеды, которая есть
очень сложно сформулированная (и трудная) тавтология
с другой стороны, без этого языка нельзя ни доказать, ни
даже сформулировать огромное количество утверждений,
начиная с единственности теории когомологий, удовлетворяющей
стандартным аксиомам

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

(Анонимно)
2017-04-17 14:16 (ссылка)

Вот да. То есть нужно искать пример доказанного утверждения, которое, во-первых, было сформулировано на категорном языке, а во-вторых, доступно для понимания человеку с dxdy. Причем человек с dxdy про когомологии не знает и не хочет, хочет только анализ.

А найти надо, иначе они продолжат распространять ненависть к науке.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	tiphareth 2017-04-17 15:19 (ссылка)
	(Ответить) (Уровень выше)

	tiphareth 2017-04-17 13:51 (ссылка)
	в теории множеств есть как раз нетривиальные теоремы: теорема Цермело или Кантор-Бернштейн (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

kaledin
2017-04-17 14:28 (ссылка)

Такого уровня нетривиальности и в теории категорий есть, просто они не нужны ни для чего.

Но изначальный вопрос феерически идиотский (как и все обсуждения в той помойке, откуда его принесли). Корректная переформулировка такая: приведите пример утверждения, которое формулируется без языка теории категорий, но не может быть доказано без него. Ответ "теорема Ферма".

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	tiphareth 2017-04-17 15:14 (ссылка)
	>просто они не нужны ни для чего во-во а сравнивать мощность множеств всегда очень хорошо (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

kaledin
2017-04-17 15:25 (ссылка)

>а сравнивать мощность множеств всегда очень хорошо

Кому как. По-моему, развлекуха не лучше и не хуже выражения копределов через коконцы и теории элементарных топосов. К реальной работе отношения не имеет.

(Ответить) (Уровень выше)

kaledin
2017-04-17 15:29 (ссылка)

Или вот тебе еще пример, как раз в духе Кантора-Бернштейна. Утверждение: счетный фильтрованный обратный предел системы непустых множеств по сюръективным отображениям непуст. Утверждение реально нужное (в теореме Брауна о представимости) и нетривиальное (без условия счетности кажется вообще неверно).

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

tiphareth
2017-04-18 00:31 (ссылка)

Есличо, это утверждение есть частный случай теоремы Геделя о компактности
https://en.wikipedia.org/wiki/Compactness_theorem
которая и формулируется, и доказывается без теории категорий
(и следует непосредственно из Тихонова). По-моему, то же верно и без счетности (Мальцев, 1936).

Такие дела
Миша

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

kaledin
2017-04-18 01:08 (ссылка)

Теорема Геделя это теорема не из математики, а из логики; какое она имеет отношение к математике, мне неведомо.

Без счетности вряд ли верно, из тех соображений, что фильтрованный обратный предел по счетному множеству имеет гомологическую размерность один, а по несчетному неизвестно какую (зависит от континуум-гипотезы и прочей мути), но точно не один.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

tiphareth
2017-04-18 01:20 (ссылка)

>какое она имеет отношение к математике, мне неведомо.

Так по ссылке же написано. Я это в качестве задачи на курсе
топологии задавал, народ решал довольно бойко. Доказательство полторы строчки,
берешь произведение твоих множеств в топологией Тихонова, тогда каждая
точка задает тебе замкнутое, а значит и
компактное подмножество в произведении, а
пересечение любого семейства
компактных подмножеств с непустыми
конечными пересечениями непусто
(иначе получаем открытое покрытие без
конечного подпокрытия).

> а по несчетному неизвестно какую (зависит от континуум-гипотезы и прочей мути)

теорема Тихонова верна независимо от мощности.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

kaledin
2017-04-18 01:43 (ссылка)

>Доказательство полторы строчки, берешь произведение твоих множеств в топологией Тихонова, тогда каждая точка задает тебе замкнутое, а значит и компактное подмножество в произведении...

Ебануться.

Вообще-то доказательство такое: раз оно фильтрованное, то там есть кофинальная копия N, для N утверждение очевидно (достаточно выбать сечение у каждого из отображений). Нетривиальность не в доказательстве, а в самом утверждении (и в осознании того, что для несчетного оно совершенно неочевидно, а то и неверно).

С какого перепугу здесь нужны топологические пространства, мне неведомо, и никому неведомо.

>теорема Тихонова верна независимо от мощности.

Может быть. При одном из 15 неэквивалентных друг другу определений компактного пространства, причем скорее всего не том, которое здесь нужно. И с использованием в доказательстве того утверждения, которое ты пытаешься из нее вывести.

Бывают люди, которые сначала выливают воду из чайника, чтобы свести задачу к предыдущей. Но здесь скорее предлагается сначала вскипятить его, а потом остудить, а уж потом вылить.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

tiphareth
2017-04-18 01:55 (ссылка)

>>теорема Тихонова верна независимо от мощности.

>Может быть. При одном из 15 неэквивалентных друг другу определений компактного пространства

Ровно том самом, которое общепринято: каждое открытое покрытие имеет конечное подпокрытие.

>С какого перепугу здесь нужны топологические пространства

а почему в "теореме Геделя о компактности" нет никакой компактности
ни в формулировке, ни в стандартном доказательстве? А потому же.
Потому что это теорема Тихонова для спектра произведения
булевых алгебр. Ее действительно можно сформулировать и
доказать, не произнеся слов "топологическое пространство"
(категории булевых алгебр и компактных вполне несвязных хаусдорфовых
топологических пространств эквивалентны потому что). Но если
кому-то ведома теорема Тихонова, теорема Геделя о компактности
делается очевидна.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	kaledin 2017-04-18 01:59 (ссылка)
	Доказательства моего утверждения в несчетном случае я так и не увидел. Кстати, в нем множества бесконечные (те, предел которых мы берем). (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

tiphareth
2017-04-18 02:19 (ссылка)

>счетный фильтрованный обратный предел системы
>непустых множеств по сюръективным отображениям непуст.

>Доказательства моего утверждения в несчетном случае я так и не увидел.

Если множества конечные, разницы никакой: аргумент из теоремы
Геделя работает, а вот если бесконечные, действительно, ломается. Увы.

>в нем множества бесконечные (те, предел которых мы берем).

Не заметил, ага.

Такие дела
Миша

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

kaledin
2017-04-18 02:44 (ссылка)

Да и для конечных не было доказательства толком, оно же должно учитывать отображения. Но для конечных по-видимому сюръективность отображений не нужна (по крайней мере в счетном случае), и в общем оно дожимается наверно. Увы, в приложении нужны бесконечные, вообще неизвестной мощности, и тогда без сюръективности никак, и доказательство должно ее как-то учитывать.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

tiphareth
2017-04-18 03:48 (ссылка)

ну, давай при встрече поговорим,
я примерно понимаю, где стандартное (геделя-тихонова)
докзательство ломается, и это крайне экзотические ситуации,
возможно, в твоем случае оно таки ок

>Да и для конечных не было доказательства толком, оно же должно учитывать отображения.

обратный предел конечных множеств по наложениям - непустое компактное,
хаусдорфово, нигде не связное, дуализируя это (по Стоуну),
ты получаешь теорему о компактности, которая утверждает,
что прямой (ко-)фильтрованный
предел конечных нетривиальных булевых алгебр по вложениям
есть нетривиальная булева алгебра, или, иначе говоря, если
у тебя есть набор предикатов, и любой его конечный поднабор
имеет точное представление, то и весь набор имеет представление.

Это я объясняю, почему твое утверждение, теорема Тихонова
и теорема о компактности - одно и то же, ссылки
https://en.wikipedia.org/wiki/Stone_duality
https://en.wikipedia.org/wiki/Compactness_theorem

Теперь, если заменить конечные булевы алгебры на бесконечные,
в теореме Геделя ничего особенно меняться не должно (бесконечная булева
алгебра есть типа предел конечных), так что какая-то версия твоей
теоремы верна и в такой ситуации, но довольно ограниченная, конечно,

все зависит от того, насколько плохая твоя диаграмма (если она, скажем,
локально конечная, я, вроде бы, умею доказывать)

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

kaledin
2017-04-18 04:53 (ссылка)

>если она, скажем, локально конечная

Это еще что такое?

На всякий случай, еще раз: утверждение для конечных множеств существенно другое. Оно верно безо всяких ограничений на морфизмы, и я пожалуй готов поверить, что работает и в несчетном случае (хотя доказывать его как ты я бы не стал, это дикое переусложнение на пустом месте). Утверждение, с которого я начал, без предположения сюръективности очевидно неверно, и компактность в любом смысле тут вроде бы ни при чем.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

tiphareth
2017-04-18 06:16 (ссылка)

граф локально конечный, если каждая вершина соединена с конечным числом вершин
впрочем, он тогда счетный, так что профита никакого
но можно и дальше это условие как-то ослаблять

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	kaledin 2017-04-18 12:53 (ссылка)
	Там графа нет, там категория (или частично-упорядоченное множество). (Ответить) (Уровень выше)

oort
2017-04-18 15:45 (ссылка)

Ну утверждение Димы при несчетной диаграмме вроде действительно неверно:

рассмотрим такую диаграмму: вершина V_A это множество всевозможных инъекций конечного подмножества A в каком-нибудь фиксированном несчетном множестве R в натуральные числа (это множество счетно). Вложение конечных множеств A \subset B отображение ограничения индуцирует сюръекцию V_B -> V_A.
Обратный предел такой штуки, если бы существовал, давал бы инъекцию R в натуральные числа.

вообще морально чтобы можно было аппелировать к компактности должно быть какое-то условие конечности ведь, а в изначально утверждении его совсем нет.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

tiphareth
2017-04-18 19:51 (ссылка)

>вообще морально чтобы можно было аппелировать к
>компактности должно быть какое-то условие конечности
>ведь, а в изначально утверждении его совсем нет.

я немного продумал аргумент, которым доказывается теорема Геделя о компактности
там берется любая кофильтрованная диаграмма булевых алгебр, если любая
конечная под-диаграмма имеет ненулевое представление, то и вся диаграмма
имеет ненулевое представление ("ультрапроизведение булевых алгебр").

а компактность тут вот где,
спектры этих булевых алгебр компактны, их можно перемножить,
применить Тихонова, точки предела - это типы, их множество непусто.

Но у Димы там просто множества, причем бесконечные, и сделать
из них булеву алгебру не всегда понятно как, хотя, наверное, в любой
разумной ситуации понятно.

Если диаграмма счетная, выбираем в вершинах
диаграммы кофинальное подмножество, эквивалентное
N, и по индукции заменяем все его множества на конечные подмножества,
согласованные таким же образом.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

kaledin
2017-04-18 22:12 (ссылка)

>Если диаграмма счетная, выбираем в вершинах диаграммы кофинальное подмножество, эквивалентное N, и по индукции заменяем все его множества на конечные подмножества, согласованные таким же образом.

Это не просто вылить воду из чайника, это еще предварительно потушить огонь.

Доказательство в счетном случае я выше написал, оно три строчки и ничего из вот этого вот не использует вообще. А в несчетном действительно неверно, и

oort" любезно показал нам контрпример.

(Ответить) (Уровень выше)

	kaledin 2017-04-18 22:13 (ссылка)
	Гениально! -- thnx!! (Ответить) (Уровень выше)

(Анонимно)
2017-04-21 12:13 (ссылка)

> обратный предел конечных множеств по наложениям - непустое компактное,
хаусдорфово, нигде не связное, дуализируя это (по Стоуну),
ты получаешь теорему о компактности, которая утверждает,
что прямой (ко-)фильтрованный
предел конечных нетривиальных булевых алгебр по вложениям
есть нетривиальная булева алгебра, или, иначе говоря, если
у тебя есть набор предикатов, и любой его конечный поднабор
имеет точное представление, то и весь набор имеет представление.

Извнияюсь за тупость, но насколько я понимаю из этого можно вывести только compactness для propositional logic. А для логики первого порядка нужно рассматривать только complete Boolean algebras. Я правда не помню какая там двойственость для полных булевых алгебр

(Ответить) (Уровень выше)

	cyainhell 2017-04-19 03:17 (ссылка)
	Ого, Мальцев еще и математик. А я думаю, как он высчитал, что 5.11.17 будет революция... (Ответить) (Уровень выше)

	(Анонимно) 2017-04-17 15:15 (ссылка)
	Вы гений. (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	(Анонимно) 2017-04-17 16:50 (ссылка)
	Как отличить гения? (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	(Анонимно) 2017-04-17 18:33 (ссылка)
	Кто может брошенной вскользь фразой снять многих мучивший вопрос, тот гений. А вообще не надо такие вещи обсуждать, пошло же. (Ответить) (Уровень выше)

	(Анонимно) 2017-04-17 15:25 (ссылка)
	В воздухе запахло явой, монадами и вот этим вот всем. (Ответить) (Уровень выше)

(Читать комментарии) -