tiphareth: список аспирантов Коламбии

(Читать комментарии) - (Добавить комментарий)

polytheme
2016-09-26 00:26 (ссылка)

они совпадают ибо изоморфны, но определения совсем разные, и в результате в Фуксе-Фоменко есть задачи, которые они думали, что они про сингулярные, а на самом деле они верны про чеха, и в результате задачу решить нельзя (но можно построить контрпример; он, кстати, не то чтобы какой-то бешено неразумный - совсем чуть-чуть не клеточное пространство там).

вообще Фукс-Фоменко - гениальная книжка с бешеным количеством ошибок, по-моему. но она кончается на топологии начала 60-х вроде, там нет локализации, формулы Атьи-Ботта, только огрызок Атьи-Зингера.

дальше, прошу прощения, некоторая каша :(

у сингулярных, впрочем, абсолютно естественное по-моему определение, оно, может, и с индексами (чтобы границу симплекса аккуратно определить) - но всем вменяемым людям и так понятно, что такое граница симплекса и индуцированная ориентация, и при случае они без труда формальное определение реконструируют, вплоть до использования трансформаторов для доказательства изоморфизма клеточным. и мотивация их изобретения тоже выглядит вполне естественной - изначально были симплициальные разбиения (Пуанкаре их, кажется, сделал, чтобы доказать двойственность, которая картинка из Гриффитса-Харриса - и самое большое упущение великой книжки Ботта и Ту, что там этой картинки нет, поэтому двойственность слабо мотивирована, а в основном доказана склейкой по майеру-вьеторису как демонстрация мощности метода - смотрите, типа, де Рам аж в обобщенные функции полез, а на самом деле все изоморфизмы - результат определений и одного несложного концептуального приёма) и плюс интуиция про подмногообразия с краем, вот сингулярные (ко)гомологии и есть естественная формализация этого (для доказательства, что от триангуляции не зависит) - как сделать, чтобы у нас были _все_ циклы, а не только вписанные в разбиение.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

topos
2016-09-26 15:03 (ссылка)

> в результате в Фуксе-Фоменко есть задачи, которые они думали, что они про сингулярные, а на самом деле они верны про чеха, и в результате задачу решить нельзя (но можно построить контрпример; он, кстати, не то чтобы какой-то бешено неразумный - совсем чуть-чуть не клеточное пространство там).

Когомологии Чеха не являются "правильными" когомологиями пучков, правильные — это "RΓ", производные функторы от функтора сечения. Для сингулярных когомологий с коэффициентами в какой-нибудь абелевой группе A можно проверить, что конструкция сингулярного комплекса — это и есть вычисление когомологий постоянного пучка A через конкретное комбинаторное разрешение. Но это доказывается только для хороших пространств (паракомпактных, хаусдорфовых, локально стягиваемых). То же самое с Чехом — это конкретное разрешение постоянного пучка, которое работает для хороших пространств.

Я лично понял довольно поздно, что все эти комлексы (для сингулярных (ко)гомологий, для когомологий Чеха, для когомологий де Рама, для (ко)гомологий групп, ...) — это одни и те же формулы (что-то в духе d = ∑ (−1)ⁱ ∂_i, где ∂_i ◦ ∂_j = ∂_j−1 ◦ ∂_i для i < j), и это воплощение одной и той же комбинаторной штуки, когомологий симплициальных множеств. До этого мне тоже казалось, что это что-то техническое и неестественное. И наверное это правда, что симплициальные штуки идут от Пуанкаре, который доказывал двойственность через симплициальные разбиения.

Но я это всё к тому, что базовая алгебраическая топология (на уровне определений) — это не пример чего-то "технического".

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

polytheme
2016-09-26 20:21 (ссылка)

Я что-то не соображу; чех - это же не про фиксированное хорошее покрытие, это прямой (или обратный, как это запомнить, блин) предел по всем покрытиям вообще. А, ага, я почему-то считал, что это другой способ считать когомологии глобальных сечений инъективной резольвенты; но
It is always an isomorphism in degrees n = 0 and 1, but may fail to be so in general. Там надо гиперпокрытия добавлять, чтобы всё сошлось.
А, всё, понял и вспомнил, что значит "конкретное разрешение".

Впрочем, у хороших пучков они и на плохих пространствах - мало что может быть хуже топ. зарисского - совпадают.

Но там (в задаче из Ф.-Ф.), кажется, удобно было использовать не "самое правильное" определение, а именно чеха - чтобы решить задачу. Эх, надо поискать повспоминать.

При этом там где-то недалеко, в районе теоремы Лефшеца, совершенно изумительная задача - доказать, что у тора, топологически вложенного (или даже погруженного) в C^2, есть касательная комплексная прямая, и предлагается доказать это через индекс пересечения.

А кстати какое свойство чех утрачивает на плохих пучках в плохих пространствах ? А, чех вроде не функториален даже (а зато сингулярных симплексов в плохие пространства просто нет). Зато Чех легко определяется для пучка некоммутативных групп.

Впрочем, ещё на mathoverflow руками Шрайбера написано, что на самом деле "правильное" определение - это брать связные компоненты hom-\inf-группоида (и Чеха слепые, а RГ глухие), но тут за такое, наверное, убивают, а что хуже, я не понимаю, что это значит.

(Ответить) (Уровень выше)

(Читать комментарии) -