tiphareth: двойственно по Пуанкаре пересечению многообразий

(Читать комментарии) - (Добавить комментарий)

grigori
2018-06-09 04:55 (ссылка)

щас, а почему оно на точке вычисляет то, что надо?

У точки есть один сингулярный 1-куб, его граница это ноль (разница концов, которые они одинаковы). Сингулярный 2-куб у точки тоже один, и его граница тоже ноль, потому что у квадрата четное число сторон. Получается класс в первых гомологиях точки!

видимо, надо факторизоваться по вырожденным кубам, чтобы оно нормально работало, а это точно повлечет много еботни

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	tiphareth 2018-06-09 05:22 (ссылка)
	ну значит, надо профакторизоваться, четам спасибо, занятно (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

kaledin
2018-06-09 12:44 (ссылка)

Да, надо факторизоваться, причем надо еще понять, какие вырожденные, и какие отображения между кубами ты вообще учитываешь. По-видимому у кубов надо упорядочить образующие векторы, и допускать вложения граней/проекции вдоль граней, которые совместимы с порядком. Дифференциал про этом получится сложнее, чем в симплексах, отображение Кюннета возможно проще (за знаки не поручусь). Противоречия с коммутативностью нет, т.к. из-за упорядочивания оно все равно некоммутативно.

В сухом остатке, в кубах сложнее дифференциал, больше комбинаторки, и надо нормализовать, в симплексах проще комбинаторика и дифференциал, можно не нормализовать, но сложнее отображение Кюннета. Конечно, более сложный дифференциал в кубах "имеет геометрический смысл", но отображение Кюннета в симплексах его тоже имеет, триангуляция произведения двух симплексов, невелика премудрость. Поэтому, по-видимому, кубы и не прижились.

(Ответить) (Уровень выше)

kaledin
2018-06-09 22:36 (ссылка)

Кстати, на всякий случай, про отображение Кюннета (т.е. триангуляцию произведения симплексов). Комбинаторика там очевидная, если воспринимать симлекс как мн-во точек на отрезке с суммой ноль. Ты кидаешь два таких множества на отрезок, и видишь, что есть один дискретный инвариант -- в таком порядке точки перетасуются. Это и есть симплексы старшей размерности в триангуляции.

(Ответить) (Уровень выше)

polytheme
2018-06-09 16:57 (ссылка)

а как вообще определяется отображение на грани ?

это же должно быть отображение канонического куба, а его можно вложить даже
не сходу посчитаешь сколькими способами в грань; точнее, 2^n * n! способами,
если я не обсчитался.

это вложение причем надо согласовать, чтобы d^2 = 0. или нет ?

на симплексе есть каноническое вложение упорядочением вершин.

спасибо, очень хороший комментарий, объясняющий, в частности, почему в Ф.-Ф.
написано, что ~"гомологии, наоборот, легко считать, но трудно определить
и доказать корректность".

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

grigori
2018-06-10 22:53 (ссылка)

ну это как раз несложно - вершины куба это последовательности из нулей и единиц, грань задаётся уравнением "i-тая координата = c", чтобы на неё ограничиться, надо зачеркнуть c, знак зависит от того, ноль это был или единица

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	polytheme 2018-06-10 22:58 (ссылка)
	а ну да. почему-то со стороны гомологий мне это казалось более загадочно (хотя действительно, наоборот, вложение грани есть добавление пропущенной координаты, с соотв. знаком) (Ответить) (Уровень выше)

	polytheme 2018-06-10 23:00 (ссылка)
	погоди, а четность координаты не надо добавить ? иначе ребро входит с одинаковым знаком от обеих граней, нет ? (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	grigori 2018-06-10 23:22 (ссылка)
	точняк, надо (Ответить) (Уровень выше)

	polytheme 2018-06-09 19:29 (ссылка)
	то есть они конечно гомотопные, но, наверное, d^2 = 0 с точностью до гомотопии не очень хорошо ? (Ответить) (Уровень выше)

(Читать комментарии) -