tiphareth: двойственно по Пуанкаре пересечению многообразий

Настроение:	sick
Музыка:	Delerium - SPIRITUAL ARCHIVES
Entry tags:	math

двойственно по Пуанкаре пересечению многообразий
Написал образцово короткое доказательство
двойственности Пуанкаре:
http://verbit.ru/IMPA/TOP-2018/cohomology-09.pdf
как-то не ожидал даже. По этому случаю, образовался
лишний час, который следует забить доказательством
того, что произведение в когомологиях (де Рама)
двойственно по Пуанкаре трансверсальному
пересечению многообразий.

А какой самый простой способ сие увидеть, без
махания руками и по возможности элементарно?
Я чего-то ничего толкового сходу придумать не могу.

Привет

(Читать комментарии) - (Добавить комментарий)

ab7a
2018-06-11 20:54 (ссылка)

Речь про древнюю "теорему об ациклических моделях". Там в конечном
счете берутся функторы F_*, G_* из категории топологических
пространств в цепные комплексы, и если они удовлетворяют некоторому
свойству относительно стягиваемых пространств, то можно по индукции
продолжать цепные отображения F_i (X) --> G_i (X) на старшие
размерности, и все эти продолжения гомотопные.

Это примерно как продолжение морфизма на резольвенты.

Для функтора сингулярных симплексов и функтора сингулярных кубов
просто руками проверяется, что они удовлетворяют условиям теоремы.

На этом уровне это просто такой способ не писать комбинаторные
формулы с индексами сразу во всех размерностях, а ограничиваться
нулевой и первой.

Кстати, Масси делает ровно то же самое, чтобы доказать изоморфизм
C (X × Y) = C (X) ⊗ C (Y) в кубическом случае. Т.е. отображение
конечно записывается формулой, которая чуть-чуть проще
шаффл-произведения, но нужно еще доказать, что оно изоморфизм.

(Кому вдруг интересно, это GTM 127, Chapter XI, Section 4,5.)

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

kaledin
2018-06-11 21:26 (ссылка)

>и если они удовлетворяют некоторому свойству относительно стягиваемых пространств

Ну да, но это надо проверять. В принципе, могла бы быть теорема, что если есть "хорошая" подкатегория A категории Top, все объекты ее стягиваемые, и дан "хороший" функтор из A в ацикличные комплексы, то он стандартным образом порождает гомологии. Но для кубов надо как минимум определить эту A, т.е. сказать, какие морфизмы берем. Ответ от этого вроде зависит.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

grigori
2018-06-11 22:57 (ссылка)

вроде как написано в википедии https://en.wikipedia.org/wiki/Acyclic_model
это свойство это то, что сингулярные когомологии куба (топологического) нулевые.
Я правда не понимаю второго условия про то, что F_k has a basis in M_k и читаю его так, что кубический сингулярный комплекс это просто комплекс свободных модулей натянутых на некоторые морфизмы (собственно невырожденные сингулярные кубы), я один раз слышал доказательство, там вроде бы именно это нужно было

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	kaledin 2018-06-11 23:32 (ссылка)
	Нет, там функтор сразу определен на всех топ. пространствах. Я имел в виду, что иногда его и определять достаточно на чем-то существенно меньшем (например, на \Delta). (Ответить) (Уровень выше)

(Читать комментарии) -