Шаришь!

Рассмотрим действие на подмножествах мощности 3. Их 20, 20 не делится на 3, поэтому какая-то орбита не делится на 3, то есть имеет порядок 2 или 1. Группа не может стабилизировать своё подмножество, поэтому орбита имеет порядок 2, а стабилизатор --- порядок 3.

То же с заменой 3 на 2 даёт существование подгруппы порядка 2.

Хорошо, Миша, пусть мы забыли, что кроме S_3 и Z_6 ничего нет. На пальцах дальше можно рассуждать.

Порядок элемента есть делитель порядка группы (очевидное следствие из теоремы Л-жа). Значит, элементы в группе порядка 6 могут иметь порядки 1, 2, 3, 6.

Если есть элемент a, |a| = 6, значит |a^3| = 2, |а^2| = 3, эти элементы порождают соотв. подгруппы.

Пусть нет элемента порядка 6, но есть элемент a, |a| = 3. Тогда он порождает подгруппу порядка 3, {e, a, a^2} и есть элемент b, не лежащий в этой подгруппе. b не может иметь порядок 3 (от противного: пусть |b| = 3, тогда s группе есть {e, a, a^2, b, b^2}, и еще их произведения, например ab и ab^2. Последние 2 элемента не могут, очевидно, совпадать ни с одним из первой группы, значит они должны все схлопнуться в один и тот же элемент. ab = ab^2 => b = b^2.) Значит |b| = 2.

Теперь пусть все элементы имеют порядок 2. К подгруппе {1 , a} добавляем элемент b порядка 2, получаем клейновскую группу. При попытке добавить еще что-то, мы получим уже группу порядка 8.

Все случаи разобраны. И что здесь сложно для первокурсника?