Сначала вы ссылаетесь на идею Сигала, а теперь вас не устраивает ровно та же самая идея Сигала-Гротендика. Оно и понятно. Если исходить из того, что 'кольцо - это дурацкий технический гаджет на абелевой группе', то и идея уровня 'абелевы группы - это Z-модули' будет выглядеть дико.

Какую именно идею Гротендика не усвоили американские топологи? Предпучки Сигала / нерв категории придуманы Гротендиком.

Американцы могли бы чаще применять другую идею Гротендика - искать правильный контекст вещей. Такой контекст может изначально показаться "идиотским бредом". Но похожая идея смотреть на абелевы группы как на Z-модули не является идиотской.

Является ли идиотской идея смотреть на (связные) спектры как на предпучки на Gamma со значениями в "пространствах"?

Популярная идея смотреть на бесконечность-категории как на предпучки на Delta со значениями в категории множеств плоха уже тем, что нет настоящего понимания, почему эта идея работает. Но плоха ли идея смотреть на бесконечность-категории как на предпучки на Delta со значениями в "пространствах"?

Является ли идиотской следующая аналогия?
(параметризированные связные) спектры <-> коммутативные моноиды
бесконечность категории <-> моноиды

Кажется, понял, что вы хотите сказать. В введении к вашей статье про склейку производных категорий сформулированы вопросы про симплициальные множества. Про это напишу в конце.

Подход, про который я писал выше, на ваши вопросы почти ничего не отвечает, а отвечает на вопрос, которым впервые всерьез занимался Том Лейнстер - вопрос, что такое нерв, у чего вообще бывает нерв, и как из понятия категории получается Delta. Развитие идей Лейнстера - Monads with arities and their associated theories. В качестве примера там разобрано, что такое нерв группоида, и показано, что возникает там не Delta, а Delta_sym.

На вопрос Лейнстера есть другой ответ, более простой. В общем случае этот ответ дает другие категории, и есть примеры, где новые категории - правильные. Более же ценно то, что этот ответ существует не сам по себе, а в контексте.

Этот контекст неявно есть в машине Сигала. Реально категория Gamma там - это локализация другой категории. Как известно, на самом деле локализация категории - это бесконечность-категория. Но для Gamma получается обычная категория. Поэтому машина Сигала и работает.

Категории подобные Gamma - тоже обычные категории. А вот какая категория вместо Delta_sym должна быть для группоидов, и категория ли вообще, - это пока не известно. То же самое не известно в случае "локализации категорий" вместо "группоида".

---
Теперь к вопросам из вашей статьи. Если что, я от бесконечность-науки очень далек, и просто когда-то пытался ее понять.

Симплициальные предпучки естественно возникают из локализации.
https://mathoverflow.net/a/58597
https://golem.ph.utexas.edu/category/2010/03/a_perspective_on_higher_catego.html#c032227

Что же до расслоений Гротендика, то сейчас даже аналог соответствия дискретные расслоения <-> предпучки - это что-то нетривиальное. В недавней книге Cisinski это соответствие вроде бы сделано на языке квази-категорий, без ссылок на другие модели, и это соответствие там - один из главных результатов (стр. xii-xiii). Есть ли от этого хоть какая-то польза - не знаю.

Да пошел ты нахуй.